Identità vettoriale per il teorema di Bernoulli

[liell]

Ciao a tutti avrei bisogno della dimostrazione dell'identità vettoriale:

V∙(∇V)=∇(V^2/2)+(∇×V)×V

che mi serve per il teorema di Bernoulli.
Grazie a tutti in anticipo.

[ralf86]

sviluppi le espressioni a destra e a sinistra e guardi se ti viene fuori un'identità

[gugo82]

Ma $V$ è un vettore?

Se sì, chi è $\nablaV$?
Se no, come definisci $\nabla \times V$?

[alle.fabbri]

Il punto di tutto secondo me è capire cosa si intende con il termine a sinistra dell'uguale. I casi sono due. O intendi che la i-esima componente di quel vettore è
$ [ V * ( \nabla V ) ]_i= \sum_k (\partial V_i) / (\partial x_k) V_k$
allora si può dimostrare. Però ti faccio notare che sarebbe più appropriata una scrittura di questo tipo
$(V * \nabla) V$
avendo definito l'operatore
$ V * \nabla = \sum_k V_k (\partial ) / (\partial x_k)$
e facendolo agire su ogni componente di $V$ stesso, in questo modo ottieni un vettore, come devi perchè a destra ci sono vettori.

Per dimostrarlo si può fare uso degli indici e del tensore di Levi Civita (su cui ti puoi informare qui). Che forse è un po' macchinoso però gli indici sono molto fecondi in sede euristica... Altrimenti puoi sfruttare le proprietà formali che trovi qui http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics) [copia anche il pezzo (mathematics)....non so perchè non lo riconosce come parte del link....misteri di mathml....] in fondo alla pagina alla voce Three common identities . Però gli svantaggi di questa scelta sono che devi introdurre la notazione di Feynman che è....da Feynman, quindi non proprio così limpida ai comuni mortali.