Identificazione e spazi di Hausdorff
Ciao a tutti,
Mi ritrovo incagliato su questo esercizio senza neanche saper da dove partire. Avreste qualche suggerimento utile per darmi un la?
Il testo enuncia:
Grazie mille a tutti
Mi ritrovo incagliato su questo esercizio senza neanche saper da dove partire. Avreste qualche suggerimento utile per darmi un la?
Il testo enuncia:
Si consideri $RR$ dotato della topologia euclidea e sia $ X $ lo spazio ottenuto identificando l’intervallo
aperto $ (0, 1) $ a un punto. Stabilire se $ X $ e' di Hausdorff.
Grazie mille a tutti
Risposte
Chiama $p$ la classe di equivalenza di \(]0,1[\) in $X$; ora, $0,p,1$ sono punti distinti. Sono separabili da intorni disgiunti?
Ma essendo identificati tutti in unico punto, non rimane un'unica classe di equivalenza?
I punti di (0,1) sono tutti identificati. Ma 0, 1, e questa classe di equivalenza, sono tre distinte.
Quindi interpreto $ X $ come lo spazio quoziente della relazione che mi identifica tutti i punti di $ ]0,1[ $. Avrò perciò la classe di equivalenza $ p$ e tutte le singole classi dei restanti punti di $RR$ ciascuno identificato con se stesso.
La relazione è perciò:
A questo punto allora posso affermare che dato $ [x]$ in $p$ un suo intorno è $ U={[x]}$ visto che un qualsiasi aperto di $ RR$ in $]0,1[$ è preimmagine di tale classe. Mentre preso un punto la cui classe non è $p$ analogamente un suo intorno $V$ sarà la classe stessa.
Quindi giunto a questo punto posso affermare che $X$ è di Hausdorff poiché prese coppie di punti distinti esistono aperti disgiunti che li contengono definiti come sopra, ovvero le classi stesse? Corretto?
Grazie mille per la disponibilità
La relazione è perciò:
$x~y \Leftrightarrow x=y$ oppure $x,y \in ]0,1[$
A questo punto allora posso affermare che dato $ [x]$ in $p$ un suo intorno è $ U={[x]}$ visto che un qualsiasi aperto di $ RR$ in $]0,1[$ è preimmagine di tale classe. Mentre preso un punto la cui classe non è $p$ analogamente un suo intorno $V$ sarà la classe stessa.
Quindi giunto a questo punto posso affermare che $X$ è di Hausdorff poiché prese coppie di punti distinti esistono aperti disgiunti che li contengono definiti come sopra, ovvero le classi stesse? Corretto?
Grazie mille per la disponibilità
Tutti gli intorni di 0 e tutti gli intorni di 1 intersecano \(]0,1[\), non trovi?
Certo.. 
Quindi tutto quello che ho scritto modificando il post precedente è sbagliato. Resta sensato parlando degli aperti $ U$ definiti come sopra ma di certo non per tutte le altre singole classi.
Scusami per la confusione ma è un argomento che mi incasina sempre le idee, devo prenderci la mano.
Solo che a questo punto come giustifico la non esistenza di aperti disgiunti?
Potrei procedere affermando che non esistendo aperti di $1$ o $ 0$ in $RR$ che non intersecano $] 0,1[$, segue che ad esempio la classe $[1]$ non è un aperto in $X$.
Necessariamente allora, un qualsiasi aperto contenente tale classe contiene anche $p$.
In conclusione, $X$ non è di Hausdorff.
C'è ancora qualche buco nel ragionamento?
Davvero, grazie mille per la pazienza
Quindi tutto quello che ho scritto modificando il post precedente è sbagliato. Resta sensato parlando degli aperti $ U$ definiti come sopra ma di certo non per tutte le altre singole classi.
Scusami per la confusione ma è un argomento che mi incasina sempre le idee, devo prenderci la mano.
Solo che a questo punto come giustifico la non esistenza di aperti disgiunti?
Potrei procedere affermando che non esistendo aperti di $1$ o $ 0$ in $RR$ che non intersecano $] 0,1[$, segue che ad esempio la classe $[1]$ non è un aperto in $X$.
Necessariamente allora, un qualsiasi aperto contenente tale classe contiene anche $p$.
In conclusione, $X$ non è di Hausdorff.
C'è ancora qualche buco nel ragionamento?
Davvero, grazie mille per la pazienza
Ultimo dubbio.
Quello che ho scritto sopra è corretto o per essere completo devo proprio esibire un' identificazione?
Grazie ragazzi
Quello che ho scritto sopra è corretto o per essere completo devo proprio esibire un' identificazione?
Grazie ragazzi
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