Identificare velocemente i vettori linearmente indipendenti
Salve,
come da titolo vorrei sapere se esiste una via 'rapida' per identificare, data una lista di vettori, quali sono quelli linearmente indipendenti.
Ad esempio: ho una matrice $ A=( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2 , -3 ) ) $ e voglio sapere quali colonne sono linearmente indipendenti.
Sò che un metodo è quello di mettere a sistema ogni vettore per vedere se è combinazione lineare degli altri, ma questo procedimento mi fà perdere un sacco di tempo all'esame...
Sò che è possibile trovare il NUMERO dei vettori linearmente indipendenti trovando il rango della matrice, che in questo caso è 2, questa informazione può essermi utile allo scopo?
Ringrazio anticipatemente per le risposte
come da titolo vorrei sapere se esiste una via 'rapida' per identificare, data una lista di vettori, quali sono quelli linearmente indipendenti.
Ad esempio: ho una matrice $ A=( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2 , -3 ) ) $ e voglio sapere quali colonne sono linearmente indipendenti.
Sò che un metodo è quello di mettere a sistema ogni vettore per vedere se è combinazione lineare degli altri, ma questo procedimento mi fà perdere un sacco di tempo all'esame...
Sò che è possibile trovare il NUMERO dei vettori linearmente indipendenti trovando il rango della matrice, che in questo caso è 2, questa informazione può essermi utile allo scopo?
Ringrazio anticipatemente per le risposte
Risposte
Se Usi L'algoritmo Di Gauss-Jordan Per Il Rango, Ti Permette Di Sapere Anche quali sono quelli Indipendenti 
Occhio Comunque che Quella Matrice Cosi' Com'e' Scritta Ha Rango 3
Occhio Comunque che Quella Matrice Cosi' Com'e' Scritta Ha Rango 3
Se Usi L'algoritmo Di Gauss-Jordan Per Il Rango, Ti Permette Di Sapere Anche quali sono quelli Indipendenti
Grazie, hai dei link (non wikipedia) che rimandano alla spiegazione del metodo?
Occhio Comunque che Quella matrice Cosi' Com'e' Scritta Ha Rango 3
Ecco perchè non mi veniva! xD
EDIT: link trovato nella sezione degli appunti
Dipende da cosa intendi per "rapida": se vuoi dire "a colpo d'occhio", allora puoi solo guardare se ci sono vettori tra loro proporzionali, o se [più difficile] ce n'è uno che è la somma di altri due, e così via..
Oltre questo livello è davvero difficile vederlo senza fare conti, ma se sei un fenomeno non avrai problemi
Oltre questo livello è davvero difficile vederlo senza fare conti, ma se sei un fenomeno non avrai problemi
Dipende da cosa intendi per "rapida": se vuoi dire "a colpo d'occhio", allora puoi solo guardare se ci sono vettori tra loro proporzionali, o se [più difficile] ce n'è uno che è la somma di altri due, e così via..
Nono volevo semplicemente un metodo più rapido di quello di mettere a sistema, ora me lo sto studiando..
A "colpo d'occhio" i vettori linearmente indipendenti riesco a trovarli solo nelle matrici tre per tre
Dopo aver messo i vettori come righe (o colonne) di una matrice, è quello degli orlati (googla e troverai). Una volta trovato con questo metodo il rango (=numero di vettori lin. indip.) puoi prendere i vettori i cui elementi compaiono nel minore non nullo che hai usato nel metodo degli orlati.
Per esempio, se i vettori sono messi sulle righe della matrice, calcoli il rango e viene $3$ e il minoreche hai usato per calcolarlo con gli orlati è:
$((a_{11},a_{12},a_{15}),(a_{31},a_{32},a_{35}),(a_{41},a_{42},a_{45}))$
come vettori lin. indip. prendi le righe $1,3,4$.
Questo direi che è il metodo più veloce.
Paola
Per esempio, se i vettori sono messi sulle righe della matrice, calcoli il rango e viene $3$ e il minoreche hai usato per calcolarlo con gli orlati è:
$((a_{11},a_{12},a_{15}),(a_{31},a_{32},a_{35}),(a_{41},a_{42},a_{45}))$
come vettori lin. indip. prendi le righe $1,3,4$.
Questo direi che è il metodo più veloce.
Paola
Il metodo di Paola mi sembra effettivamente più veloce, anche perchè il metodo di Gauss-Jordan deve essere preceduto dal metodo di Gauss che prevede la riduzione della matrice ad una triangolare e quindi deve essere n x n.
Col metodo degli orlati ho ragionato così:
Considerando i vettori colonna della matrice $ A = ( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2, -3 ) ) $ voglio trovare quelli linearmente indipendenti; siccome la matrice è di tre righe per quattro colonne, il rango dovrà essere minore o uguale a tre (per le proprietà del rango).
Considero il minore di ordine 2 ottenuto cancellando (ad esempio) la seconda colonna, la quarta colonna e la terza riga ed ottengo la sottomatrice $ det(A') = det( (1,0),(-1,2) ) = -1 $. Essendo diverso da zero, la prima e la seconda colonna della matrice $ A $ sono linearmente indipendenti; allora considero i minori di ordine 3.
Prendo il minore di ordine 3 formato (ad esempio) da $ det(A'') = det( (1,0,-1), (-1,1,0), (-1,-1,2)) = 0$ ; non va bene.
Considero allora il minore formato da $ det(A'') = det( (1,-1,-1), (-1,0,-1), (-1,2,-3)) = 6 $; è diverso da zero, quindi $rg(A) = 3$ e la prima, la terza e la quarta colonna di A sono linearmente indipendenti.
Ho ragionato giusto?
Col metodo degli orlati ho ragionato così:
Considerando i vettori colonna della matrice $ A = ( ( 1 , 0 , -1 , -1 ),( -1 , 1 , 0 , -1 ),( -1 , -1 , 2, -3 ) ) $ voglio trovare quelli linearmente indipendenti; siccome la matrice è di tre righe per quattro colonne, il rango dovrà essere minore o uguale a tre (per le proprietà del rango).
Considero il minore di ordine 2 ottenuto cancellando (ad esempio) la seconda colonna, la quarta colonna e la terza riga ed ottengo la sottomatrice $ det(A') = det( (1,0),(-1,2) ) = -1 $. Essendo diverso da zero, la prima e la seconda colonna della matrice $ A $ sono linearmente indipendenti; allora considero i minori di ordine 3.
Prendo il minore di ordine 3 formato (ad esempio) da $ det(A'') = det( (1,0,-1), (-1,1,0), (-1,-1,2)) = 0$ ; non va bene.
Considero allora il minore formato da $ det(A'') = det( (1,-1,-1), (-1,0,-1), (-1,2,-3)) = 6 $; è diverso da zero, quindi $rg(A) = 3$ e la prima, la terza e la quarta colonna di A sono linearmente indipendenti.
Ho ragionato giusto?
una domanda attinente alla discusisone
Se volgio sapere se i vettori che compongono la matrice A sono linearmete indipendenti devo vedere il rango, e se questo è massimo( in questo caso se viene rango 3) allora significa che sono linearmetne indipendenti, giusto???
Se volgio sapere se i vettori che compongono la matrice A sono linearmete indipendenti devo vedere il rango, e se questo è massimo( in questo caso se viene rango 3) allora significa che sono linearmetne indipendenti, giusto???
@mike:non hai sfruttato il vantaggio degli orlati: una volta trovato il minore non nullo di ordine 2, devi orlarlo in tutti i modi possibili finchè non trovi (eventualmente) un minore non nullo di ordine 3. Gli orlati ti danno dei "punti fissi" gradualmente, di modo che invece di esplorare TUTTE le combinazioni possibili di righe e colonne, puoi provarne solo alcune.
@Ste: considera che rango matrice= numero di sue righe lin. indip. = numero di sue colonne lin. indip.
Questo SEMPRE. Nel caso che dici tu, in cui vuoi vedere se i vettori che hai sono lin. indip., il rango deve essere massimo. Se vuoi vedere quanti e quali sono lin. indip. usi il metodo di cui abbiamo parlato sopra.
Paola
@Ste: considera che rango matrice= numero di sue righe lin. indip. = numero di sue colonne lin. indip.
Questo SEMPRE. Nel caso che dici tu, in cui vuoi vedere se i vettori che hai sono lin. indip., il rango deve essere massimo. Se vuoi vedere quanti e quali sono lin. indip. usi il metodo di cui abbiamo parlato sopra.
Paola
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