Idempotenza
Salve,
avrei un dubbio riguardo l'idempotenza. Guardando alla definizione, una matrice si dice idempotente quando A^2 = A.
Ora il mio dubbio è questo, il quadrato di una matrice si calcola moltiplicando la matrice per se stessa o per la sua trasposta?
In molte dimostrazioni la mia professoressa moltiplica la matrice per la trasposta, mentre su internet trovo gente che eleva semplicemente al quadrato la matrice. Cortesemente potreste sciogliere questo mio dubbio??
Grazie mille.
avrei un dubbio riguardo l'idempotenza. Guardando alla definizione, una matrice si dice idempotente quando A^2 = A.
Ora il mio dubbio è questo, il quadrato di una matrice si calcola moltiplicando la matrice per se stessa o per la sua trasposta?
In molte dimostrazioni la mia professoressa moltiplica la matrice per la trasposta, mentre su internet trovo gente che eleva semplicemente al quadrato la matrice. Cortesemente potreste sciogliere questo mio dubbio??
Grazie mille.
Risposte
È il prodotto della matrice per se stessa 
E' $A*A=A^2=A$
E quindi A è un matrice di proiezione oppure una matrice di riflessione
Se invece fosse $A^3=A$ , allora A è un matrice di proiezione oppure una matrice di rotazione a 120 gradi.
Se invece fosse $A^4=A$, allora A è un matrice di proiezione oppure una matrice di di riflessione oppure una matrice di rotazione a 90 gradi.
E quindi A è un matrice di proiezione oppure una matrice di riflessione
Se invece fosse $A^3=A$ , allora A è un matrice di proiezione oppure una matrice di rotazione a 120 gradi.
Se invece fosse $A^4=A$, allora A è un matrice di proiezione oppure una matrice di di riflessione oppure una matrice di rotazione a 90 gradi.
Scusate ma mi sorge un dubbio, se fosse A x A = A^2, ipotizziamo ora questo caso...
A è una matrice 3x2, moltiplicandola per se stessa verrebbe:
A (3x2) x A (3x2) ma questo violerebbe l'ipotesi di conformabilità, non potrebbe moltiplicarsi perchè le righe della prima sono diverse dalle colonne della seconda.
Ho questo dubbio scusate, siete sicuro che una matrice quadra non si calcoli moltiplicando la matrice stessa per la sua trasposta?
A è una matrice 3x2, moltiplicandola per se stessa verrebbe:
A (3x2) x A (3x2) ma questo violerebbe l'ipotesi di conformabilità, non potrebbe moltiplicarsi perchè le righe della prima sono diverse dalle colonne della seconda.
Ho questo dubbio scusate, siete sicuro che una matrice quadra non si calcoli moltiplicando la matrice stessa per la sua trasposta?
Ti è stato detto che $A^2=A A$. Ipotizzi il caso di una matrice rettangolare e vuoi farne la potenza, ma ti accorgi che non è possibile fare la moltiplicazione riga per colonna. Non ti è venuto in mente che tale ipotesi possa essere sbagliata? 
"Magma":
Ti è stato detto che $A^2=A A$. Ipotizzi il caso di una matrice rettangolare e vuoi farne la potenza, ma ti accorgi che non è possibile fare la moltiplicazione riga per colonna. Non ti è venuto in mente che tale ipotesi possa essere sbagliata?
Non credo che le ipotesi alla base degli OLS siano sbagliate... poi non so
"Khaleesi":
Non credo che le ipotesi alla base degli OLS siano sbagliate... poi non so
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Che cosa sarebbero gli OLS? Comunque mi riferisco alla tua ipotesi.
Il dubbio mi è venuto perchè andando a fare delle dimostrazioni di statistica, per esempio quella di derivazione delle formule dagli OLS (sono degli stimatori), occorre minimizzare la distanza dei residui al quadrato.
I residui sarebbero una matrice U, dove u (tx1).. quando va a svolgersi la dimostrazione, la sommatoria dei residui al quadrato la scrive come u'u...
Per questo mi è venuto il dubbio su come si verificasse l'idempotenza. Il nostro prof ha solamente scritto A^2 = A senza risolvere, però quando vado a vedere le dimostrazioni dei teoremi e c'e' da fare un elevamento al quadrato di una matrice, viene sempre moltiplicata per la sua trasposta.
Non ho capito se tu dicendomi "l'ipotesi possa essere sbagliata", significa che il professore non mi chiederà mai di calcolare l'idempotenza di una matrice diversa da una (2x2, 3x3 ecc...).
Sono entrata un po' in confusione e vorrei fare chiarezza ecco, scusate il disturbo.
I residui sarebbero una matrice U, dove u (tx1).. quando va a svolgersi la dimostrazione, la sommatoria dei residui al quadrato la scrive come u'u...
Per questo mi è venuto il dubbio su come si verificasse l'idempotenza. Il nostro prof ha solamente scritto A^2 = A senza risolvere, però quando vado a vedere le dimostrazioni dei teoremi e c'e' da fare un elevamento al quadrato di una matrice, viene sempre moltiplicata per la sua trasposta.
Non ho capito se tu dicendomi "l'ipotesi possa essere sbagliata", significa che il professore non mi chiederà mai di calcolare l'idempotenza di una matrice diversa da una (2x2, 3x3 ecc...).
Sono entrata un po' in confusione e vorrei fare chiarezza ecco, scusate il disturbo.
La potenza di una matrice è definita solo per matrici quadrate, proprio perchè non ha senso fare il prodotto di matrici
Sugli OLS non ti so aiutare, probabilmente quel prodotto viene fuori per altri motivi: per esempio su wikipedia è riportata la formula $(Ap-y)^TA=0$. Per un miglior chiarimento apri un post nella sezione di Statistica e probabilità.
$(nxxm)(nxxm), qquad m ne n$.
Sugli OLS non ti so aiutare, probabilmente quel prodotto viene fuori per altri motivi: per esempio su wikipedia è riportata la formula $(Ap-y)^TA=0$. Per un miglior chiarimento apri un post nella sezione di Statistica e probabilità.
Ok ti ringrazio!
"Khaleesi":
Il dubbio mi è venuto perchè andando a fare delle dimostrazioni di statistica, per esempio quella di derivazione delle formule dagli OLS (sono degli stimatori), occorre minimizzare la distanza dei residui al quadrato.
I residui sarebbero una matrice U, dove u (tx1).. quando va a svolgersi la dimostrazione, la sommatoria dei residui al quadrato la scrive come u'u..
Penso di comprendere da dove deriva la tua confusione. Dimentica tutto e segui me passo per passo.
Immagina di avere una una tabella di m righe e n colonne (una matrice M). Le n colonne sono le n v.a. mentre le righe le osservazioni empiriche: ovviamente ci sono moooolte più righe che colonne $m>>>n$
Creati un esempio magari con tre colonne e 8 righe.
A questo punto magari immagini che una delle variabili dipenda linearmente da tutte le altre. Il metodo degli OLS usando l'algebra lineare consiste in questo.
A) Depura ogni colonna della sua media sottraendola da ogni elemento e ottieni una nuova matrice E
B) Moltiplica $E^T*E=A$. Cos'è A? Pensaci! Arriverai facilmente a capire che gli elementi sulla diagonale di A sono le devianze delle v.a. mentre gli elementi fuori dalla diagonale sono le codevianze. A è una matrice ricca di proprietà interessanti: è quadrata. è simmetrica ed è anche definitiva positiva.
C) Dal punto di vista geometrico, quando cerchi i nuovi $hat(Y_i)$, stai proiettando i valori di empirici di $Y_i$ sulla retta di regressione perchè le distanze ortogonali sono le minime possibili fra tutte le proiezioni possibili. Quelle distanze ortogonali sono i residui/errori e la loro somma verrà quindi minimizzata. Ergo proiettando con la matrice A, i vettori di proiezione sono autovettori della matrice A e sono le devianze di regressione. I vettori ortogonali (anch'essi autovettori) sono la differenza fra i vettori originari e quelli di regressione, ovvero le varianze di dispersione. Le somme ti daranno appunto che la varianza totale di Y è pari alla varianza di regressione + la varianza di dispersione.
Quindi secondo me confondevi il primo passaggio, ovvero la creazione della matrice di devianza e codevianza dei punti (a partire da una matrice rettangolare depurata delle medie) con la matrice di proiezione. Infine rifletti su questo...se proietti un vettore lungo un altro vettore e poi riapplichi la medesima trasformazione cosa accade? Nulla. Dopo la prima proiezione, il vettore è già lungo la retta del secondo...quindi se lo riproietti resta se stesso. Ecco perchè $P=P^2$
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