Ideali solubili di un'algebra di Lie

[Dal2]

Ciao ragazzi, non so se questa è la sezione adatta per questo tipo di domande, provo comunque a farla perché non ne trovo una più in tema. Non ho ben chiara la definizione di ideale solubile: ora mi spiego. Per definire il concetto di algebra $g$ di Lie solubile passiamo per la definizione di questi oggetti $g^k$ (di cui non conosco il nome) con $k$ intero non negativo, ma di cui trovo due definizioni diverse da fonti diverse. Una mi dice che $g^k$ è l'insieme degli elementi di $g=g^0$ che possono essere ottenuti come $[X,Y]$, dove $X,Y \in g^{k-1}$; l'altra fonte mi dice che invece è lo spazio vettoriale generato dagli elementi dell'algebra $g$ che possono essere ottenuti come $[X,Y]$ con $X,Y \in g^{k-1}$. Il punto è che, non sapendo se la somma di due parentesi di Lie $[X,Y]+[Z,W]$ può essere scritta essa stessa come parentesi di qualche elemento dell'algebra, non so se le due definizioni sono equivalenti o meno. Tra l'altro, volendo mostrare che questi oggetti $g^k$ sono ideali dell'algebra, partendo da $k=0$, viene sfruttata l'identità di Jacobi $[Z,[X,Y]]=-[X,[Y,Z]]-[Y,[Z,X]]$, dove $X,Y,Z\in g$; quindi viene detto che, essendo $[Y,Z]$ e $[Z,X]$ in $g\Rightarrow [X,[Y,Z]]$ e $[Y,[Z,X]]$ stanno in $g^1$ e quindi $[Z,[X,Y]]\in g^1\forall Z\in g$. Peccato che, se adotto la prima definizione di $g^k$ che ho dato, non so se la somma di elementi di $g$ scrivibili come parentesi di Lie è ancora un elemento scrivibile come parentesi di Lie, quindi non riesco a capire l'ultima implicazione della dimostrazione precedente, cioè $[X,[Y,Z]]$ e $[Y,[Z,X]]$ stanno in $g^1 \Rightarrow [Z,[X,Y]]\in g^1\forall Z\in g$.

[fulcanelli]

Si definisce induttivamente \([\mathfrak g,\mathfrak g]\) come lo spazio vettoriale generato dai commutatori di elementi di \(\mathfrak g\), e \(\mathfrak g^{(k)} := [\mathfrak g^{(k-1)},\mathfrak g^{(k-1)}]\). A questo punto, puoi mostrare che tutti i \(\mathfrak g^{(k)}\) sono ideali di \(\mathfrak g\).

[dissonance]

[ot]Immagino che "ideale risolubile" sia una traduzione un po' migliore. "Ideale solubile" mi fa pensare a qualcosa che si scioglie se immerso in acqua.[/ot]

[Dal2]

Grazie fulcanelli per la risposta, ora mi è chiaro, per quanto riguarda il consiglio di dissonance per la traduzione, il corso che seguo è in italiano e abbiamo sempre usato il termine ideale solubile, effettivamente cercando online si trova anche la definizione di algebra risolubile ma credo (non mi sono informato sulle algebre risolubili) siano concetti diversi.

[Martino]

"Dal":credo (non mi sono informato sulle algebre risolubili) siano concetti diversi.

Le parole "solvable" (risolubile) e "soluble" (solubile) sono usate in matematica con lo stesso significato, la prima si usa negli stati uniti, la seconda nel regno unito.