Ideali di $Z[x]$
Non riesco a stabilire se l'ideale generato da $x+1$ in $Z[x]$ è massimale. Mi potete aiutare? Grazie.
Risposte
no no...... mi pare sia tutto corretto, mi sembri un tipo piuttosto preciso! 
... ma dimmi invece hanno senso questo passaggi se $ax+b=t(cx+d)$
$(Z[x])/(t(cx+d))=( (Z[x])/((t)) ) /( ((t(cx+d)))/((t)) )$
avendo inserito un insieme $(t)$ contenuto in entrambi... (parlando di anelli commutativi mi sembra che basti, o no?)
$((Z[x])/((t)))$ è isomorfo con la proiezione delle coordinate a $Z_t[x]$ e invece l'ideale quozientato sotto dovrebbe essere solo l'indentità e tale rimane in un eventuale isomorfismo... quindi l'insieme è semplicemente $Z_t[x]$....
sono passaggi leciti questi?
ps: scusa le formule... sto avendo qualche difficoltà...
... ma dimmi invece hanno senso questo passaggi se $ax+b=t(cx+d)$$(Z[x])/(t(cx+d))=( (Z[x])/((t)) ) /( ((t(cx+d)))/((t)) )$
avendo inserito un insieme $(t)$ contenuto in entrambi... (parlando di anelli commutativi mi sembra che basti, o no?)
$((Z[x])/((t)))$ è isomorfo con la proiezione delle coordinate a $Z_t[x]$ e invece l'ideale quozientato sotto dovrebbe essere solo l'indentità e tale rimane in un eventuale isomorfismo... quindi l'insieme è semplicemente $Z_t[x]$....
sono passaggi leciti questi?
ps: scusa le formule... sto avendo qualche difficoltà...
Mi scuso per il ritardo nella risposta ma ieri è stata una folle giornata 
$(t)$ non è contenuto in $(t(cx+d))$ se così fosse $t$ sarebbe divisibile per $t(cx+d)$ quindi $t=k(x)*t*(cx+d) \Rightarrow 1=k(x)*(cx+d)$ e questo è assurdo.
non ho trovato una soluzione e quella che avevo proposto in precedenza mi sembra sbagliata. continuerò a pensarci. ciao e buon anno
$(t)$ non è contenuto in $(t(cx+d))$ se così fosse $t$ sarebbe divisibile per $t(cx+d)$ quindi $t=k(x)*t*(cx+d) \Rightarrow 1=k(x)*(cx+d)$ e questo è assurdo.
non ho trovato una soluzione e quella che avevo proposto in precedenza mi sembra sbagliata. continuerò a pensarci. ciao e buon anno
"rubik":
Mi scuso per il ritardo nella risposta ma ieri è stata una folle giornata
$(t)$ non è contenuto in $(t(cx+d))$ se così fosse $t$ sarebbe divisibile per $t(cx+d)$ quindi $t=k(x)*t*(cx+d) \Rightarrow 1=k(x)*(cx+d)$ e questo è assurdo.
non ho trovato una soluzione e quella che avevo proposto in precedenza mi sembra sbagliata. continuerò a pensarci. ciao e buon anno
don't worry....
hai ragione... in sostanza ho sbagliato ad applicare il teorema di isomorfismo perchè questo richiede quell'inclusione che dici tu, giusto?... ipotesti che non ricordavo (del resto il teorema un senso ce l'avrebbe anche senza quell'ipotesi mi pare, solo che è falso... quindi forse sono scusato).... danke!
mmm.... ok il teorema in effetti senza quell'inclusione non ha senso se vedi il quoziente $B/C$ da solo (mi riferisco ad $(A/C)/(B/C)$...
interpretando $B/C$ come "le classi dell'insieme quoziente $A/C$ ristrette agli elementi $B$ un senso c'è... (del resto mi pare sia questa l'interpretazione di $B/C$ come sottoinsieme di $A/C$...
ok mi riguardo il teorema... ci sta che sto facendo confusione...
interpretando $B/C$ come "le classi dell'insieme quoziente $A/C$ ristrette agli elementi $B$ un senso c'è... (del resto mi pare sia questa l'interpretazione di $B/C$ come sottoinsieme di $A/C$...
ok mi riguardo il teorema
... ci sta che sto facendo confusione...
sono riuscito ad andare un pezzettino avanti, premetto un teorema:
Sia $R$ un anello commutativo unitario e $I,J$ due ideali tali che $I+J=R$ allora:
1) $IJ=InnJ$
2)$R//IJ~=R//IxxR//J$
dim: $IJsubInnJ$ vero sempre. per l'altra inclusione osserviamo $I+J=R \Rightarrow EEx in I \quad EE y in J | x+y=1$
sia $u in InnJ \Rightarrow u=u*1=u*(x+y)=ux+uy$ e $ux$ sta in $IJ$ perchè $u in J$ e $x in I$ e $uy$ analogamente quindi la somma sta in $IJ$ perchè è un ideale.
definisco $phi:R//IJ->R//IxxR//J$ così $phi(u)=(ux,uy)$ dove x,y sono quelli di prima e ometto le parentesi di classe, che sia ben definita mi pare si vede facilmente e anche che rispetta la somma, vediamo il prodotto:
$uv->(uvx,uvy)$ ora $uvx=u(x+y)vx=uxvx+uyvx$ e $uvxy in IJsubI$ quindi è zero in $RR//I$ analogo per l'altra entrata ed otteniamo $uv->(uxvx,uyvy)=(ux,uy)*(vx,vy)$ come volevamo (ho sempre omesso il simbolo di classe!)
spero sia comprensibile e corretto, è una generalizzazione del teorema cinese del resto, ma non so se la mia dimostrazione è corretta però il teorema dovrebbe esserlo comunque
detto questo noi volevamo $ZZ[x]//(t(cx+d))$ nel caso in cui $(t)$ e $(cx+d)$ sono coprimi viene $ZZ[x]//(t)xxZZ[x]//(cx+d)$
noi avevamo supposto $(c,d)=1$ quindi se $t|c$ allora abbiamo $(t,d)=1$ altrimenti c e d non sarebbero coprimi.
nel caso in cui $t|c$ abbiamo $c=kt\Rightarrow (ktx+d,t)=(d,t)=1$ e quindi viene il prodotto dei quozienti.
dimmi se ti torna!
Sia $R$ un anello commutativo unitario e $I,J$ due ideali tali che $I+J=R$ allora:
1) $IJ=InnJ$
2)$R//IJ~=R//IxxR//J$
dim: $IJsubInnJ$ vero sempre. per l'altra inclusione osserviamo $I+J=R \Rightarrow EEx in I \quad EE y in J | x+y=1$
sia $u in InnJ \Rightarrow u=u*1=u*(x+y)=ux+uy$ e $ux$ sta in $IJ$ perchè $u in J$ e $x in I$ e $uy$ analogamente quindi la somma sta in $IJ$ perchè è un ideale.
definisco $phi:R//IJ->R//IxxR//J$ così $phi(u)=(ux,uy)$ dove x,y sono quelli di prima e ometto le parentesi di classe, che sia ben definita mi pare si vede facilmente e anche che rispetta la somma, vediamo il prodotto:
$uv->(uvx,uvy)$ ora $uvx=u(x+y)vx=uxvx+uyvx$ e $uvxy in IJsubI$ quindi è zero in $RR//I$ analogo per l'altra entrata ed otteniamo $uv->(uxvx,uyvy)=(ux,uy)*(vx,vy)$ come volevamo (ho sempre omesso il simbolo di classe!)
spero sia comprensibile e corretto, è una generalizzazione del teorema cinese del resto, ma non so se la mia dimostrazione è corretta però il teorema dovrebbe esserlo comunque
detto questo noi volevamo $ZZ[x]//(t(cx+d))$ nel caso in cui $(t)$ e $(cx+d)$ sono coprimi viene $ZZ[x]//(t)xxZZ[x]//(cx+d)$
noi avevamo supposto $(c,d)=1$ quindi se $t|c$ allora abbiamo $(t,d)=1$ altrimenti c e d non sarebbero coprimi.
nel caso in cui $t|c$ abbiamo $c=kt\Rightarrow (ktx+d,t)=(d,t)=1$ e quindi viene il prodotto dei quozienti.
dimmi se ti torna!
buona l'idea del teorema cinese!
domande:
- come dimostri che (t)+(cx+d)=Z[x]?
- non ti sto capendo, a cosa ti serve distinguere il caso $t|c$ dagli altri?
"rubik":
detto questo noi volevamo $ZZ[x]//(t(cx+d))$ nel caso in cui $(t)$ e $(cx+d)$ sono coprimi viene $ZZ[x]//(t)xxZZ[x]//(cx+d)$
noi avevamo supposto $(c,d)=1$ quindi se $t|c$ allora abbiamo $(t,d)=1$ altrimenti c e d non sarebbero coprimi.
nel caso in cui $t|c$ abbiamo $c=kt\Rightarrow (ktx+d,t)=(d,t)=1$ e quindi viene il prodotto dei quozienti.
dimmi se ti torna!
domande:
- come dimostri che (t)+(cx+d)=Z[x]?
- non ti sto capendo, a cosa ti serve distinguere il caso $t|c$ dagli altri?
"Thomas":
- come dimostri che (t)+(cx+d)=Z[x]?
- non ti sto capendo, a cosa ti serve distinguere il caso $t|c$ dagli altri?
supponi che $t|c$ allora $(t,d)=1$ se per assurdo fosse $(t,d)=a>1$ allora $a|c$ contro l'ipotesi che $(c,d)=1$ quindi abbiamo $cx+d=kt+d$ quindi in $(t)+(cx+d)$ c'è $d=kt+d-kt$ e c'è anche $t$ per cui c'è per l'identità di bezout $1=a_1d+a_2t$ per opportuni $a_1,a_2$ quindi l'ideale è tutto $ZZ[x]$
insomma se $t|c$ è un caso in cui si vede facilmente che i due ideali sono coprimi.
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