Idea lampo circa i complementi ortogonali
Mi imbatto in questo asserto:
" In generale dato $W$ un sottospazio di $(V,b)$ con $b: V times V->mathbbR$ forma bilineare, si ha che
$dimW + dim W^\bot >= dimV$ e l'uguaglianza si ha solo nel caso in cui $b$ sia non degenere."
Sul fatto che in presenza dell'ipotesi di NON degeneratezza della forma, sussista l'uguaglianza, ci sto. Si fa una piccola deviazione nella teoria della dualità e si arriva a dimostrare quel fatto, grazie appunto, al concetto di sottospazio (del duale di $V$) annullatore di un determinato sottospazio $W$.
la domanda è.. come mai in generale vale quel $>=$ ? In altri termini (pensando a una dimostrazione) perchè non può aversi $<$ ?
Grazie mille!
" In generale dato $W$ un sottospazio di $(V,b)$ con $b: V times V->mathbbR$ forma bilineare, si ha che
$dimW + dim W^\bot >= dimV$ e l'uguaglianza si ha solo nel caso in cui $b$ sia non degenere."
Sul fatto che in presenza dell'ipotesi di NON degeneratezza della forma, sussista l'uguaglianza, ci sto. Si fa una piccola deviazione nella teoria della dualità e si arriva a dimostrare quel fatto, grazie appunto, al concetto di sottospazio (del duale di $V$) annullatore di un determinato sottospazio $W$.
la domanda è.. come mai in generale vale quel $>=$ ? In altri termini (pensando a una dimostrazione) perchè non può aversi $<$ ?
Grazie mille!
Risposte
Ciao, scusami ma non si potrebbe usare la formula di Grassman ?
$dim(W) + dim (W^\bot) = dim(W+W^\bot) + dim(W \cap W^\bot) = dim(V)+dim(W \cap W^\bot) >= dim(V)$
E se $b$ è non degenere hai che $W \cap W^\bot = {0}$ e quindi l'ugualianza. Cmq sono un pò arrugginito, non me le ricordo bene queste cose, potrei sbagliare....
$dim(W) + dim (W^\bot) = dim(W+W^\bot) + dim(W \cap W^\bot) = dim(V)+dim(W \cap W^\bot) >= dim(V)$
E se $b$ è non degenere hai che $W \cap W^\bot = {0}$ e quindi l'ugualianza. Cmq sono un pò arrugginito, non me le ricordo bene queste cose, potrei sbagliare....
Stai usando $dim(W + W^bot) = dimV$ . Perchè? ???
Tranquillo circa la ruggine, sono convinto che l'idea a sfuggirmi sia una epica stron..banalità, quindi ogni suggerimento, anche se sembra "prevedibile" può essere illuminante...
Ora sto pensando al teorema del rango e ho sottomano questo compendietto:
http://www.mat.uniroma1.it/~fiorenza/di ... gonali.pdf
e sto traendo spunto per dare una formalizzazione snella ma efficace.
Fammi sapere circa la domanda all'inizio di questa mia risposta.
E grazie.
Tranquillo circa la ruggine, sono convinto che l'idea a sfuggirmi sia una epica stron..banalità, quindi ogni suggerimento, anche se sembra "prevedibile" può essere illuminante...
Ora sto pensando al teorema del rango e ho sottomano questo compendietto:
http://www.mat.uniroma1.it/~fiorenza/di ... gonali.pdf
e sto traendo spunto per dare una formalizzazione snella ma efficace.
Fammi sapere circa la domanda all'inizio di questa mia risposta.
E grazie.
"wide87":
Stai usando dim(W+W⊥)=dimV . Perchè? ???
Perchè ho dato per scontato che $W+W^\bot = V$
... mi sembra di ricordare che se $b$ non è degenere allora questo è vero ma in generale purtroppo non lo so.
Si ineffetti ho controllato un pochino e la non-degeneratezza della forma equivale ad asserire che $W + W^bot = V$ mentre si ha la somma diretta ( l'intersezione banale ) se e solo se è non degenere $b_(|WtimesW) $.
A questo punto mi resta solo da provare come mai
$ b $ non degenere $Leftrightarrow forall $ sottospazio $ W subset V : W + W^bot = V$.
Ora mi ci metto un attimino..
Ti ringrazio comunque!!
A questo punto mi resta solo da provare come mai
$ b $ non degenere $Leftrightarrow forall $ sottospazio $ W subset V : W + W^bot = V$.
Ora mi ci metto un attimino..
Ti ringrazio comunque!!
"perplesso":
E se $b$ è non degenere hai che $W \cap W^\bot = {0}$...
Direi che è falso... Esistono forme non degeneri \(b\) tali che \(b(v,v) = 0\) per qualche vettore non nullo \(v\) (per evitare questa cosa ci vuole l'ulteriore richiesta che \(b\) sia una forma definita positiva o negativa).
@ wide87
Ti do un suggerimento che mi sembra carino. Per ogni \(v \in V\) definiamo il funzionale lineare \(b_v = b(\cdot,v)\). Se \((w_1,\ldots,w_r)\) è una base di \(W\), allora
\[
W^{\perp} = \bigcap_{j = 1}^r \ker b_{w_j}
\]
Mille grazie Elvis!
La teoria della dualità che viaggia di pari passo al conto spiccolo è indubbiamente di grande fascino. Il tuo suggerimento infatti è anche (in forma lievemente diversa) contemplato nel link che ho proposto ed è ottimo.
Comunque per fortuna ho risolto e formalizzato tutto bene.
Grazie mille a entrambi.
La teoria della dualità che viaggia di pari passo al conto spiccolo è indubbiamente di grande fascino. Il tuo suggerimento infatti è anche (in forma lievemente diversa) contemplato nel link che ho proposto ed è ottimo.
Comunque per fortuna ho risolto e formalizzato tutto bene.
Grazie mille a entrambi.
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