Idea: Insieme delle parti come anello
Un'idea che ha stravolto il modo in cui guardo agli insiemi.
Se X è un insieme, sappiamo bene che possiamo identificare parti di X, P(X), ovvero l'insieme dei suoi sottoinsiemi, con l'insieme $A=\{0,1\}^X$, ovvero l'insieme delle funzioni da X a {0,1}. Ora, se dotiamo l'insieme {0,1} dell'usuale struttura di anello, esso diventa un campo (il ben conosciuto campo con due elementi), quindi A diventa un anello, con somma e prodotto componente per componente, e di più, grazie a quanto abbiamo già visto, la nozione di ideale primo coincide con quella di ideale massimale.
Esplicito meglio la corrispondenza biunivoca tra P(X) e A: dato S, sottoinsieme di X, costruisco la funzione $f_S:X \to F_2$ che manda x in 0 se $x \in S$, e in 1 altrimenti. Cosicché l'elemento 1 di A è identificato col vuoto, e l'elemento 0 con tutto X. Ad $f \in A$ associo $f^{-1}(0) \in P(X)$.
Con questa meravigliosa identificazione, possiamo tradurre in conticini algebrici tutte le relazioni tra gli insiemi. Innanzitutto ci convinciamo che per $a,b \in P(X)$ valgono le seguenti:
1) $X-a = a+1$
2) $a \cup b = a \cdot b$
3) $a \Delta b = 1+a+b$
4) $a \cap b = ab+a+b$
Di conseguenza le leggi di De Morgan, per esempio, diventano:
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)(1+b)=1+a+b+ab$ (si tratta solo di sviluppare un prodotto!)
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)+(1+b)+(1+a)(1+b)=1+ab$ (e anche qui, ricordando che P(X) ha caratteristica due!)
Allora possiamo tradurre in termini algebrici cose come topologie, algebre, filtri e ultrafiltri, ecc., e in termini insiemistici ideali e sottoanelli.
Ditemi voi se uno può dormire tranquillo quando esistono queste cose in giro
Se X è un insieme, sappiamo bene che possiamo identificare parti di X, P(X), ovvero l'insieme dei suoi sottoinsiemi, con l'insieme $A=\{0,1\}^X$, ovvero l'insieme delle funzioni da X a {0,1}. Ora, se dotiamo l'insieme {0,1} dell'usuale struttura di anello, esso diventa un campo (il ben conosciuto campo con due elementi), quindi A diventa un anello, con somma e prodotto componente per componente, e di più, grazie a quanto abbiamo già visto, la nozione di ideale primo coincide con quella di ideale massimale.
Esplicito meglio la corrispondenza biunivoca tra P(X) e A: dato S, sottoinsieme di X, costruisco la funzione $f_S:X \to F_2$ che manda x in 0 se $x \in S$, e in 1 altrimenti. Cosicché l'elemento 1 di A è identificato col vuoto, e l'elemento 0 con tutto X. Ad $f \in A$ associo $f^{-1}(0) \in P(X)$.
Con questa meravigliosa identificazione, possiamo tradurre in conticini algebrici tutte le relazioni tra gli insiemi. Innanzitutto ci convinciamo che per $a,b \in P(X)$ valgono le seguenti:
1) $X-a = a+1$
2) $a \cup b = a \cdot b$
3) $a \Delta b = 1+a+b$
4) $a \cap b = ab+a+b$
Di conseguenza le leggi di De Morgan, per esempio, diventano:
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)(1+b)=1+a+b+ab$ (si tratta solo di sviluppare un prodotto!)
- Se $a,b \in P(X)$ allora $(1+a)+(1+b)+(1+a)(1+b)=1+ab$ (e anche qui, ricordando che P(X) ha caratteristica due!)
Allora possiamo tradurre in termini algebrici cose come topologie, algebre, filtri e ultrafiltri, ecc., e in termini insiemistici ideali e sottoanelli.
Ditemi voi se uno può dormire tranquillo quando esistono queste cose in giro
Risposte
Eh sì, quando io l'ho scoperto per la prima volta ci sono rimasto secco La costruzione che hai riportato è un caso particolare del concetto di anello booleano http://it.wikipedia.org/wiki/Anello_booleano
In sostanza si considerano come primitive le operazioni di differenza simmetrica e intersezione tra insiemi invece che considerare primitive unione, intersezione e complemento. Mi sa che però hai scambiato 2) con 4) e nella 3) ci hai messo un 1 di troppo, a meno che non abbia frainteso le tue definizioni.
Questo permette di applicare le tecniche dell'algebra commutativa e della topologia alle algebre di insiemi e viceversa. Particolarmente interessante è la topologia di Zariski sugli anelli booleani.
Inoltre abbiamo una trattazione puramente algebrica della logica proposizionale e qui son altre meraviglie.
Ecco roba forte http://profs.sci.univr.it/~gregorio/stone-new.pdf
La costruzione che hai riportato è un caso particolare del concetto di anello booleano http://it.wikipedia.org/wiki/Anello_booleanoIn sostanza si considerano come primitive le operazioni di differenza simmetrica e intersezione tra insiemi invece che considerare primitive unione, intersezione e complemento. Mi sa che però hai scambiato 2) con 4) e nella 3) ci hai messo un 1 di troppo, a meno che non abbia frainteso le tue definizioni.
Questo permette di applicare le tecniche dell'algebra commutativa e della topologia alle algebre di insiemi e viceversa. Particolarmente interessante è la topologia di Zariski sugli anelli booleani.
Inoltre abbiamo una trattazione puramente algebrica della logica proposizionale e qui son altre meraviglie.
Ecco roba forte
http://profs.sci.univr.it/~gregorio/stone-new.pdf
"fields":
Mi sa che però hai scambiato 2) con 4) e nella 3) ci hai messo un 1 di troppo, a meno che non abbia frainteso le tue definizioni.
Attento: nella mia definizione un elemento x sta in un sottoinsieme S se la coordinata corrispondente è zero (non uno!). Quindi per esempio quando fai l'unione devi guardare le coordinate in cui almeno uno dei due ha uno zero, i.e. quelle coordinate in cui il prodotto dei due dà zero.
Un'altra cosa: dato che un filtro su X non è altro che un ideale proprio di P(X) (
), e un ultrafiltro non è altro che un ideale massimale, cioè primo, la proprietà seguente:"se $A \cup B$ appartiene all'ultrafiltro allora uno tra $A$ e $B$ appartiene all'ultrafiltro"
si traduce immediatamente in:
"se $xy$ appartiene all'ideale massimale allora uno tra $x$ e $y$ appartiene all'ideale massimale"
e questa è la definizione di ideale primo
Non appena ho tempo accedo ai siti che hai linkato
"Martino":
Attento: nella mia definizione un elemento x sta in un sottoinsieme S se la coordinata corrispondente è zero (non uno!). Quindi per esempio quando fai l'unione devi guardare le coordinate in cui almeno uno dei due ha uno zero, i.e. quelle coordinate in cui il prodotto dei due dà zero.
Ah sì, scusa, avevo letto velocemente. Comunque si tratta di corrispondenze duali, e trattasi appunto della dualità di Stone.
Se $F$ è un filtro su $X$ e prendiamo $bar F$ (i complementi degli insiemi di $F$), otteniamo che $ bar F$ è un ideale su $X$. Per la definizione di ideale in teoria degli insiemi: en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(set_theory)
In teoria degli insiemi, i filtri contengono insiemi "grandi", gli ideali insiemi "piccoli" e i due concetti sono duali.
Definendo l'appartenenza come $0$ e la non appartenza $1$ come fai tu, mandi filtri in ideali, mentre invece definendo l'appartenenza come $1$ e la non appartenza $0$ si mandano ideali in ideali (e questo spiega perché in teoria degli insiemi gli ideali si chiamano appunto "ideali" e non "Giovannini"
)
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