Idea dimostrazione trasformazione lineare, determinante jacobiana e volume.
Buongiorno
sono incappato in questa proposizione:
se $f$ è una trasformazione lineare $f:I \rightarrow \mathbb{R}^n$ con $I$ parallelepipedo in $\mathbb{R}^n$ e $m(I)$ il suo volume, allora $f(I)$ sarebbe un parallelepipedo il cui volume vale
$$m(f(I))= \det(f')m(I)
$$
dove $f'$ indica la Jacobiana di $f$. Siccome io non sapevo questo fatto, vorrei sapere come si può procedere per dimostrarlo, oppure se potete indicarmi qualche buona libro (o dispensa) che tratta l'argomento. Purtroppo non ho trovato nulla in internet perchè non so neppure come cercarlo, e chiaramente nel mio testo di geometria non c'è.
Intuitivamente capisco la prima parte, cioè che un parallelepipedo viene "deformato" da una trasformazione lineare, ma vorrei proprio capire perchè diventa un altro parallelepipedo, allo stesso modo capisco che il determinante della jacobiana moltiplicato il volume del parallelepipedo di partenza da il volume del parallelepipedo finale, perché (considerata l'interpretazione geometrica del determinante) alla fine la jacobiana ha come colonne dei vettori che sono paralleli ai lati del parallelepipedo f(I).
Spero di essermi spiegato
grazie
sono incappato in questa proposizione:
se $f$ è una trasformazione lineare $f:I \rightarrow \mathbb{R}^n$ con $I$ parallelepipedo in $\mathbb{R}^n$ e $m(I)$ il suo volume, allora $f(I)$ sarebbe un parallelepipedo il cui volume vale
$$m(f(I))= \det(f')m(I)
$$
dove $f'$ indica la Jacobiana di $f$. Siccome io non sapevo questo fatto, vorrei sapere come si può procedere per dimostrarlo, oppure se potete indicarmi qualche buona libro (o dispensa) che tratta l'argomento. Purtroppo non ho trovato nulla in internet perchè non so neppure come cercarlo, e chiaramente nel mio testo di geometria non c'è.
Intuitivamente capisco la prima parte, cioè che un parallelepipedo viene "deformato" da una trasformazione lineare, ma vorrei proprio capire perchè diventa un altro parallelepipedo, allo stesso modo capisco che il determinante della jacobiana moltiplicato il volume del parallelepipedo di partenza da il volume del parallelepipedo finale, perché (considerata l'interpretazione geometrica del determinante) alla fine la jacobiana ha come colonne dei vettori che sono paralleli ai lati del parallelepipedo f(I).
Spero di essermi spiegato
grazie
Risposte
Bbeennvveennuutto! 
Il volume dell'$n$-parallelepipedo $I$ che ha vertici \(A_0(a_{0,1},...,a_{0,n}),A_1(a_{1,1},...,a_{1,n}),...,A_n(a_{n,1},...,a_{n,n})\) è il determinante di\[A=\begin{pmatrix}
a_{1,1}-a_{0,1} & a_{2,1}-a_{0,1} & \cdots & a_{3,1}-a_{0,1} \\a_{1,2}-a_{0,2} & a_{2,2}-a_{0,2} & \cdots & a_{3,2}-a_{0,2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1,n}-a_{0,n} & a_{2,n}-a_{0,n} & \cdots & a_{3,n}-a_{0,n} \end{pmatrix}\]Probabilmente conosci già una dimostrazione che lega questo risultato, per spazi euclidei a 2 o 3 dimensioni, a meno del segno, all'interpretazione tradizionale di area o rispettivamente volume di parallelogrammi del piano ordinario e parallelepipedi dello spazio ordinario.
Ora, per la linearità, applicare ai punti del parallelepipedo la trasformazione affine $f$, che è lo stesso di applicarla ai vertici, equivale a moltiplicare a sinistra le $n$-uple delle coordinate dei vertici per la matrice, diciamo \(M_{\mathbf{e}}(f)\), che rappresenta la trasformazione rispetto ad un riferimento cartesiano assegnato e tale matrice è proprio la jacobiana di $f$. D'altra parte la matrice $$ definita sopra è la matrice che ha per colonne le coordinate di $A_1,...,A_n$ meno la matrice che ha per colonne le coordinate di $A_0$ ripetute $n$ volte. Quindi, per la formula di Binet, direi che
$m(f(I))=\det(M_{\mathbf{e}}(f)\cdotA)=\det M_{\mathbf{e}}(f) \det A= \det(f) m(I)$.
Spero di essere corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
Il volume dell'$n$-parallelepipedo $I$ che ha vertici \(A_0(a_{0,1},...,a_{0,n}),A_1(a_{1,1},...,a_{1,n}),...,A_n(a_{n,1},...,a_{n,n})\) è il determinante di\[A=\begin{pmatrix}a_{1,1}-a_{0,1} & a_{2,1}-a_{0,1} & \cdots & a_{3,1}-a_{0,1} \\a_{1,2}-a_{0,2} & a_{2,2}-a_{0,2} & \cdots & a_{3,2}-a_{0,2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1,n}-a_{0,n} & a_{2,n}-a_{0,n} & \cdots & a_{3,n}-a_{0,n} \end{pmatrix}\]Probabilmente conosci già una dimostrazione che lega questo risultato, per spazi euclidei a 2 o 3 dimensioni, a meno del segno, all'interpretazione tradizionale di area o rispettivamente volume di parallelogrammi del piano ordinario e parallelepipedi dello spazio ordinario.
Ora, per la linearità, applicare ai punti del parallelepipedo la trasformazione affine $f$, che è lo stesso di applicarla ai vertici, equivale a moltiplicare a sinistra le $n$-uple delle coordinate dei vertici per la matrice, diciamo \(M_{\mathbf{e}}(f)\), che rappresenta la trasformazione rispetto ad un riferimento cartesiano assegnato e tale matrice è proprio la jacobiana di $f$. D'altra parte la matrice $$ definita sopra è la matrice che ha per colonne le coordinate di $A_1,...,A_n$ meno la matrice che ha per colonne le coordinate di $A_0$ ripetute $n$ volte. Quindi, per la formula di Binet, direi che
$m(f(I))=\det(M_{\mathbf{e}}(f)\cdotA)=\det M_{\mathbf{e}}(f) \det A= \det(f) m(I)$.
Spero di essere corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
scusa il ritardo.
Si credo che torna ragionamento, ieri ci stavo pensando e sono giunto allo stesso risultato, circa con gli stessi passaggi! (senza il teorema di Binet).
Alla fine è abbastanza semplce se si vede il parallelepipedo come combinazione lineare di versori paralleli ai lati!
grazie mille!
Si credo che torna ragionamento, ieri ci stavo pensando e sono giunto allo stesso risultato, circa con gli stessi passaggi! (senza il teorema di Binet).
Alla fine è abbastanza semplce se si vede il parallelepipedo come combinazione lineare di versori paralleli ai lati!
grazie mille!
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