I vettori uniti di $A^tA$

[killing_buddha]

Data una matrice \(A\in M_{m,n}(k)\), la sua trasposta \(A^t\) soddisfa alla relazione
\[
\langle Av,w\rangle = \langle v, A^t w\rangle
\]
dove \(\langle -,=\rangle\) e' il prodotto scalare standard su $k^n$; questo ammonta a dire che le applicazioni lineari rappresentate da $A,A^t$ sono aggiunte rispetto al pairing standard, che identifica (quasi) canonicamente $k^n$ col suo duale.

Esiste un modo di caratterizzare gli autovettori di autovalore 1 degli endomorfismi $A^tA, A A^t$ in termini di qualche proprieta' di $A$? Quanto e' grande il loro autospazio, di che proprieta' eventualmente godono in generale, e altre amenita'?

[j18eos]

Nel frattempo che vi penso... Volevi scrivere \(\displaystyle A\in M_{n,n}(\mathbb{K})\) con \(\displaystyle\mathbb{K}\) campo o corpo?

[killing_buddha]

Volevo scrivere quello che ho detto $k$ e' un corpo, si'.

[j18eos]

Ma allora \(\displaystyle v\in k^m\) e \(\displaystyle w\in k^n \)... cosa sarebbero \(\displaystyle\langle\cdot;\cdot\rangle\) e un autovettore di \(\displaystyle A\)?

[killing_buddha]

"j18eos":Ma allora \(\displaystyle v\in k^m\) e \(\displaystyle w\in k^n \)...

Si', e' esattamente cosi'.

cosa sarebbero \(\displaystyle\langle\cdot;\cdot\rangle\)

Sono i prodotti scalari canonici su $k^m$ e $k^n$

e un autovettore di \(\displaystyle A\)?

Un autovettore di $A$, non e' niente, non ne ha; al limite $A$ avra' dei valori singolari, che sono esattamente (le radici de)gli autovalori di $A^tA$. Quelli, vi ho chiesto di caratterizzare mediante una qualche proprieta' simpatica.

Finora so solo dire che gli autovalori/autovettori di $A^tA$ sono gli stessi di $\sqrt{A^tA}$...