I rettangoli danno una topologia su \( \mathbb{R}^2 \)

[marco2132k]

Ciao.

Definiti gli aperti del piano \( \mathbb{R}^2 \) come le unioni di famiglie di rettangoli aperti (ossia, insiemi del tipo \( I\times J \), dove \( I \) e \( J \) sono intervalli aperti della retta), mi viene difficile provare che l'intersezione di due aperti è aperta.

Abbiamo che per due rettangoli aperti \( R_1 \) e \( R_2 \), l'intersezione è ancora un rettangolo aperto.

[ot]Avevo già postato una dimostrazione, sbagliata, che ora ho tolto.[/ot]

[fmnq]

Un aperto è un'unione \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} I_\lambda\times J_\lambda\). Se ne prendi due, diciamo \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} I_\lambda\times J_\lambda\) e \(\bigcup_{\mu\in M} I_\mu\times J_\mu\), la loro intersezione è
\[\textstyle
\bigcup_{\lambda\in\Lambda} I_\lambda\times J_\lambda \cap \bigcup_{\mu\in M} I_\mu\times J_\mu =
\bigcup_{(\lambda,\mu)\in \Lambda\times M} (I_\lambda\times J_\lambda) \cap (I_\mu\times J_\mu)
\] Ciò che devi verificare è che allora l'intersezione di due rettangoli è un rettangolo: questo è evidente (l'intersezione di intervalli è un intervallo, e \((I_\lambda\times J_\lambda) \cap (I_\mu\times J_\mu) = (I_\lambda\cap I_\mu)\times (J_\lambda\cap J_\mu)\)).

[marco2132k]

Grazie @fmnq.

Prima avevo fatto una cosa simile, più o meno, e il dubbio ce l'avevo su l'indicizzazione degli insiemi.

In pratica è corretto unire per tutti i \( \lambda\in\Lambda \) e \( \mu\in M \).