I cerchi

[daladd]

Ciao a tutti, sono nuovo del forum, spero di postare nella sezione corretta. Vi espongo il mio problema.

Vorrei calcolare il punto piu' alto di una piramide composta da cerchi, che cercherò di rappresentare qui sotto:

O
OO

Il mio problema è come calcolare il punto tangente del cerchio superiore sui cerchi inferiori. Confesso che non so nemmeno da dove partire, qualcuno mi può aiutare?

Grazie mille a tutti

[ciampax]

Quello che ti basta è capire dove si trova il centro della circonferenza superiore rispetto ai centri (allineati su una linea orizzontale) dei cerchi a livello inferiore. Basta vedere il caso con due cerchi di base e uno posto sopra essi al centro. Supponiamo che i due cerchi di base abbiano i centri, in un piano cartesiano, nei punti $(\pm r,0)$ con $r>0$ raggio dei cerchi stessi. Il loro punto di tangenza si trova nell'origine. Ora, ne segue che il cerchio posto sopra essi ha centro nel punto $(0,h)$ con $h>0$ da determinare. Per farlo, conduciamo le linee che collegano i due centri dei cerchi di base con quello del cerchio posto sopra: tali segmenti hanno lunghezza $2r$ in quanto passano per i punti di tangenza. Ne segue, usando il teorema di Pitagora, che $h=\sqrt{4r^2-r^2}=\sqrt{3} r$, che è il valore cercato.

A questo punto, se devi ragionare sull'altezza massima con $n$ livelli, basta ragionare iterativamente sull'altezza $h_n$ dei centri ai vari livelli

a livello $n=1$ l'altezza è $h_1=r$ (i centri distano $r$ dal suolo)
a livello $n=2$ l'altezza è $h_2=h_1+h$ (basta sommare l'altezza trovata prima a quella generica a cui si trova il livello successivo rispetto al precedente)

Iterando, troverai che $h_n=h_{n-1}+h$ che è una progressione aritmetica di ragione $h$ e quindi è facile vedere che

$h_n=r+(n-1)h$

Infine, per giungere alla massima altezza, basta sommare $r$, per cui

$H_n=2r+(n-1)h=r(2+(n-1)\sqrt{3})$