Ho la Parabola, cerco il cono sul quale giace.
Sperando nella vostra benevolenza vi chiedo se volete aiutarmi.
Sono incapace di individuare il cono sul quale giace una parabola che conosco
$ y=9x^2+6x+1 $
Ho bisogno di sapere l'angolo al vertice del cono.
Grazie a chi vorrà dedicarmi del tempo.
Sono incapace di individuare il cono sul quale giace una parabola che conosco
$ y=9x^2+6x+1 $
Ho bisogno di sapere l'angolo al vertice del cono.
Grazie a chi vorrà dedicarmi del tempo.
Risposte
Ciao Ilquadrato,
Scusami, ma la tua richiesta non è molto chiara: il cono è un oggetto tridimensionale, mentre la parabola è un oggetto bidimensionale...
Se ti può aiutare la parabola proposta $y = 9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2 $ ha la concavità verso l'alto (essendo $ a = 9 > 0$), interseca l'asse $y$ nel punto $A(0, 1) $ e ha vertice nel punto $V(- 1/3, 0) $
Scusami, ma la tua richiesta non è molto chiara: il cono è un oggetto tridimensionale, mentre la parabola è un oggetto bidimensionale...
Se ti può aiutare la parabola proposta $y = 9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2 $ ha la concavità verso l'alto (essendo $ a = 9 > 0$), interseca l'asse $y$ nel punto $A(0, 1) $ e ha vertice nel punto $V(- 1/3, 0) $
Ciao piloeffe, ti ringrazio.
Hai ragione devo fare chiarezza.
La parabola in questione, della quale conosco la formula, è una sezione di un cono; essa giace su un piano che interseca un cono e questo piano è parallelo alla generatrice del cono medesimo.
La posizione del piano non mi interessa, però devo sapere l'angolo al vertice del cono.
Sto facendo un'indagine storica, per passione, e devo capire a quale cono allude l'autore (Sec. XIV).
Hai ragione devo fare chiarezza.
La parabola in questione, della quale conosco la formula, è una sezione di un cono; essa giace su un piano che interseca un cono e questo piano è parallelo alla generatrice del cono medesimo.
La posizione del piano non mi interessa, però devo sapere l'angolo al vertice del cono.
Sto facendo un'indagine storica, per passione, e devo capire a quale cono allude l'autore (Sec. XIV).
"Ilquadrato":
La parabola in questione, della quale conosco la formula, è una sezione di un cono; essa giace su un piano che interseca un cono e questo piano è parallelo alla generatrice del cono medesimo.
La posizione del piano non mi interessa, però devo sapere l'angolo al vertice del cono.
Putroppo invece interessa perchè per qualsiasi cono a base circolare, si può trovare la medesima equazione della parabola intersecandola con un piano traslato ad hoc dall'origine: tradotto, ci sono infinite soluzioni e quindi infiniti angoli che soddisfano la richiesta.
Inoltre l'equazione $y=(3x+1)^2$ è identica a $y=9x^2$. L'unica differenza sarebbe dove è posizionato il cono...quindi tanto vale usare il più semplice dei sistemi di riferimento e avere la base del cono nell'origine.
Ciao Bokonon, grazie per il commento.
A proposito di quanto affermi nel primo capoverso:
immagino due coni, uno con angolo al vertice di 1°, e uno con angolo 179°, spostando il piano di intersezione vedrò delle parabole che nel primo caso saranno "aguzze", e nel secondo caso decisamente "larghe" (uso aguzze e larghe perché non conosco i termini adatti...)
Quello che affermi nel secondo capoverso non mi pare possibile.
Putroppo invece interessa perchè per qualsiasi cono a base circolare, si può trovare la medesima equazione della parabola intersecandola con un piano traslato ad hoc dall'origine: tradotto, ci sono infinite soluzioni e quindi infiniti angoli che soddisfano la richiesta.
Inoltre l'equazione $y=(3x+1)^2$ è identica a $y=9x^2$. L'unica differenza sarebbe dove è posizionato il cono...quindi tanto vale usare il più semplice dei sistemi di riferimento e avere la base del cono nell'origine.
A proposito di quanto affermi nel primo capoverso:
immagino due coni, uno con angolo al vertice di 1°, e uno con angolo 179°, spostando il piano di intersezione vedrò delle parabole che nel primo caso saranno "aguzze", e nel secondo caso decisamente "larghe" (uso aguzze e larghe perché non conosco i termini adatti...)
Quello che affermi nel secondo capoverso non mi pare possibile.
"Ilquadrato":
Quello che affermi nel secondo capoverso non mi pare possibile.
https://www.desmos.com/calculator/iluq9mpfez
Schiaccia il tasto play
Senza offesa, ma dal commento citato mi pare di capire che non mastichi molta matematica.
Potrei fornirti le equazioni e le soluzioni del primo "capoverso" ma non sono sicuro che sia la strada migliore.
Proviamo così: quando il piano interseca solo la generatrice, allora la parabola degenera (chiaramente) in una retta. Partendo da questa visualizzazione, spostiamo il piano verso l'interno del cono a base circolare e "vediamo" formarsi parabole le cui braccia, via via, si allargano. Questo accade indipendentemente dalla pendenza della retta generatrice. L'unica cosa che cambia è la velocità con cui si allargheranno le braccia della parabola. Maggiore è la pendenza della retta generatrice, meno velocemente le braccia si aprono. Quindi, per ottenere la parabola $y=9x^2$, maggiore è la pendenza maggiore sarà la distanza del piano intersecante dalla retta generatrice.
Riflettici un po' su.
"Bokonon":
https://www.desmos.com/calculator/iluq9mpfez
Schiaccia il tasto play
Senza offesa, ma dal commento citato mi pare di capire che non mastichi molta matematica.
Potrei fornirti le equazioni e le soluzioni del primo "capoverso" ma non sono sicuro che sia la strada migliore.
Proviamo così: quando il piano interseca solo la generatrice, allora la parabola degenera (chiaramente) in una retta. Partendo da questa visualizzazione, spostiamo il piano verso l'interno del cono a base circolare e "vediamo" formarsi parabole le cui braccia, via via, si allargano. Questo accade indipendentemente dalla pendenza della retta generatrice. L'unica cosa che cambia è la velocità con cui si allargheranno le braccia della parabola. Maggiore è la pendenza della retta generatrice, meno velocemente le braccia si aprono. Quindi, per ottenere la parabola $y=9x^2$, maggiore è la pendenza maggiore sarà la distanza del piano intersecante dalla retta generatrice.
Riflettici un po' su.
Nessuna offesa, anzi ti ringrazio, io sono autodidatta, sessantenne, è normale che sono "capoccione"
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Fichissimo il programma desmos, mi ha aiutato a capire delle cose. Esiste qualcosa di simile in 3D dove
poter vedere la stessa parabola su coni molto diversi?
"Ilquadrato":
Esiste qualcosa di simile in 3D dove
poter vedere la stessa parabola su coni molto diversi?
Bella domanda. E' un bel po' che mi dico "ricordati di sperimentare con Geobra o Desmos in 3D" ma non l'ho ancora fatto. Magari domani o domenica ci do un'occhiata.
Le equazioni da inserire sono semplici:
$z=asqrt(x^2+y^2)$ per il cono
$z=a(y+1/18)$ per il piano
$0
Risolvendo il sistema si ottiene $y=9x^2-1/36$ che, rispetto alle coordinate sul piano, è sempre la nostra parabola traslata di $-1/36$ verso il basso (nel grafico di Desmos)
Edit: corretto un segno
Ecco qua https://www.geogebra.org/3d/zn5sqztg
P.S.
Beh, è vero ciò che ho scritto ma guardando l'animazione mi aspettavo che il piano si allontanasse decisamente di più o perlomeno che la distanza fosse visivamente apprezzabile; così sono andato a vedere matematicamente cosa succede (cosa che pigramente non avevo fatto).
La distanza parametrica del piano dalla generatrice del cono è $D=1/(18sqrt(1+1/a^2))$
$lim_(a->0+) D =0$ e $lim_(a->oo) D =1/18$ quindi $0
Tanto più il cono tende a degenerare e diventare l'asse Z, tanto più la distanza piano-cono tende al massimo a 1/18 (il che ha perfettamente senso pensando che il piano passa appunto per il punto $(0,-1/18,0)$ )
P.S.
"Bokonon":
Quindi, per ottenere la parabola $y=9x^2$, maggiore è la pendenza maggiore sarà la distanza del piano intersecante dalla retta generatrice.
Beh, è vero ciò che ho scritto ma guardando l'animazione mi aspettavo che il piano si allontanasse decisamente di più o perlomeno che la distanza fosse visivamente apprezzabile; così sono andato a vedere matematicamente cosa succede (cosa che pigramente non avevo fatto).
La distanza parametrica del piano dalla generatrice del cono è $D=1/(18sqrt(1+1/a^2))$
$lim_(a->0+) D =0$ e $lim_(a->oo) D =1/18$ quindi $0
Tanto più il cono tende a degenerare e diventare l'asse Z, tanto più la distanza piano-cono tende al massimo a 1/18 (il che ha perfettamente senso pensando che il piano passa appunto per il punto $(0,-1/18,0)$ )
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