Hilbert: fondamenti di geometria
uno studente di liceo può tenere in considerazione questo libro e gli assiomi oppure questi sono "dannosi" per chi studia la geometria euclidea? in breve: uno studente può usare questo libro per approfondire le sue conoscenze (senza discostarsi dal programma), per risolvere problemi con un' apertura mentale molto più ampia e completa, oppure questo libro si dilunga troppo in modo generale e vago o (peggio!) può essere controproducente?
p.s. quale libro di geometria piana voi considerate migliore? ed inoltre, gli autori "modificano leggermente" le varie definizioni o queste sono sempre le stesse, dove cambia la spiegazione o la dimostrazione? grazie
p.s. quale libro di geometria piana voi considerate migliore? ed inoltre, gli autori "modificano leggermente" le varie definizioni o queste sono sempre le stesse, dove cambia la spiegazione o la dimostrazione? grazie
Risposte
Espongo il mio parere.
Uno studente veramente bravo potrebbe anche riuscire a leggere i Grundlagen der Geometrie, ma nella migliore delle ipotesi si troverebbe davanti qualcosa che non si aspetta affatto. Il testo non è stato scritto, per quel poco che ne so e per quel poco che ne ho letto, con l'intento di insegnare la geometria euclidea, ma con lo scopo di rifondarla assiomaticamente.
Quello che troverai in quel testo è un elenco di venti assiomi. Per ciascun assioma è dimostrata l'indipendenza logica da tutti quelli precedenti (che significa costruire modelli di geometria che soddisfano tutti gli altri assiomi tranne quello in questione - modelli che di solito non hanno nulla a che fare con la geometria che uno si immagina al liceo, tipo il piano di Fano, classico esempio di geometria finita).
Quello che non troverai in quel testo è la dimostrazione di risultati avanzati di geometria euclidea.
In conclusione, è un modo un po' brutale per educarsi al pensiero matematico moderno, ma non credo che "insegni a risolvere i problemi". Per consigliarti qualcosa di opportuno, prima dimmi quali sono i tuoi scopi: amore spassionato ed incondizionato per la geometria euclidea (nel qual caso credo che niente superi gli Elementi stessi), oppure vuoi potenziare la tua capacità di problem-solving? Nel secondo caso, posso consigliarti il Problem-Solving Strategies di A. Engel. E' veramente ottimo in questa direzione e non affronta solo problemi di natura geometrica, ma insegna un sacco di strategie che tornano utili in tantissime dimostrazioni!
P.S. Ho parlato degli Elementi, ma semplicemente perché non conosco altro. A dire il vero, è un argomento che, a mia conoscenza, non è più oggetto di ricerca matematica da tantissimo tempo (salvo ricercatori sporadici!). Alla fine, dal mio punto di vista, è giusto che sia così: i moderni strumenti della geometria differenziale e algebrica consentono di trattare con questioni altrimenti impensabili in un quadro di fondazione assiomatica hilbertiana.
Uno studente veramente bravo potrebbe anche riuscire a leggere i Grundlagen der Geometrie, ma nella migliore delle ipotesi si troverebbe davanti qualcosa che non si aspetta affatto. Il testo non è stato scritto, per quel poco che ne so e per quel poco che ne ho letto, con l'intento di insegnare la geometria euclidea, ma con lo scopo di rifondarla assiomaticamente.
Quello che troverai in quel testo è un elenco di venti assiomi. Per ciascun assioma è dimostrata l'indipendenza logica da tutti quelli precedenti (che significa costruire modelli di geometria che soddisfano tutti gli altri assiomi tranne quello in questione - modelli che di solito non hanno nulla a che fare con la geometria che uno si immagina al liceo, tipo il piano di Fano, classico esempio di geometria finita).
Quello che non troverai in quel testo è la dimostrazione di risultati avanzati di geometria euclidea.
In conclusione, è un modo un po' brutale per educarsi al pensiero matematico moderno, ma non credo che "insegni a risolvere i problemi". Per consigliarti qualcosa di opportuno, prima dimmi quali sono i tuoi scopi: amore spassionato ed incondizionato per la geometria euclidea (nel qual caso credo che niente superi gli Elementi stessi), oppure vuoi potenziare la tua capacità di problem-solving? Nel secondo caso, posso consigliarti il Problem-Solving Strategies di A. Engel. E' veramente ottimo in questa direzione e non affronta solo problemi di natura geometrica, ma insegna un sacco di strategie che tornano utili in tantissime dimostrazioni!
P.S. Ho parlato degli Elementi, ma semplicemente perché non conosco altro. A dire il vero, è un argomento che, a mia conoscenza, non è più oggetto di ricerca matematica da tantissimo tempo (salvo ricercatori sporadici!). Alla fine, dal mio punto di vista, è giusto che sia così: i moderni strumenti della geometria differenziale e algebrica consentono di trattare con questioni altrimenti impensabili in un quadro di fondazione assiomatica hilbertiana.
@Tina: Non postare la stessa domanda in più aree del forum, per favore. Si chiama cross-posting e non è consentito qui. Grazie.
"maurer":
Espongo il mio parere.
Uno studente veramente bravo potrebbe anche riuscire a leggere i Grundlagen der Geometrie, ma nella migliore delle ipotesi si troverebbe davanti qualcosa che non si aspetta affatto. Il testo non è stato scritto, per quel poco che ne so e per quel poco che ne ho letto, con l'intento di insegnare la geometria euclidea, ma con lo scopo di rifondarla assiomaticamente.
Quello che troverai in quel testo è un elenco di venti assiomi. Per ciascun assioma è dimostrata l'indipendenza logica da tutti quelli precedenti (che significa costruire modelli di geometria che soddisfano tutti gli altri assiomi tranne quello in questione - modelli che di solito non hanno nulla a che fare con la geometria che uno si immagina al liceo, tipo il piano di Fano, classico esempio di geometria finita).
Quello che non troverai in quel testo è la dimostrazione di risultati avanzati di geometria euclidea.
In conclusione, è un modo un po' brutale per educarsi al pensiero matematico moderno, ma non credo che "insegni a risolvere i problemi". Per consigliarti qualcosa di opportuno, prima dimmi quali sono i tuoi scopi: amore spassionato ed incondizionato per la geometria euclidea (nel qual caso credo che niente superi gli Elementi stessi), oppure vuoi potenziare la tua capacità di problem-solving? Nel secondo caso, posso consigliarti il Problem-Solving Strategies di A. Engel. E' veramente ottimo in questa direzione e non affronta solo problemi di natura geometrica, ma insegna un sacco di strategie che tornano utili in tantissime dimostrazioni!
P.S. Ho parlato degli Elementi, ma semplicemente perché non conosco altro. A dire il vero, è un argomento che, a mia conoscenza, non è più oggetto di ricerca matematica da tantissimo tempo (salvo ricercatori sporadici!). Alla fine, dal mio punto di vista, è giusto che sia così: i moderni strumenti della geometria differenziale e algebrica consentono di trattare con questioni altrimenti impensabili in un quadro di fondazione assiomatica hilbertiana.
Hilbert non insegna a risolvere i problemi. Per quello esistono libri migliori. Per le superiori penso che imbattibili per lo studio della geometria sintentica e la trigonometria siano i libri di Coxeter (ad incominciare da geometry revised). Introduction to geometry è più avanzato e presenta argomenti più moderni. Anche il suo libro sulle geometrie non euclidee è interessante. Ce ne sono altri ma più avanzati.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo