Hessiana semidefinita positiva

[Bomber7367]

Ciao ragazzi, volevo sapere perchè se ho un punto critico la cui matrice hessiana associata a e semi definita positiva non posso concludere che questo e minimo. Cioè questo non implica solamente che ho un autovalore nullo e di conseguenza una retta di punti di minimo?

[fede_mat11]

In verità nel caso in cui la tua hessiana è semidefinita positiva in un punto $x_{o}$ puoi concludere che il punto $x_{o}$ è punto di minimo locale solo se l'hessiana è semidefinita positiva in un intorno del punto! perchè in questo caso la funzione è localmente convessa. Se hai la condizione che la matrice è semidefinita positiva solo in $x_o$ non ci fai niente, devi studiarla in un intorno.

[dissonance]

"Bomber7367":Ciao ragazzi, volevo sapere perchè se ho un punto critico la cui matrice hessiana associata a e semi definita positiva non posso concludere che questo e minimo. Cioè questo non implica solamente che ho un autovalore nullo e di conseguenza una retta di punti di minimo?

Questo sarebbe vero se la funzione fosse una forma quadratica, ovvero se essa fosse identicamente uguale alla propria serie di Taylor arrestata al secondo ordine. Ma in generale quello che tu puoi dire è solo che la funzione assomiglia alla roba che hai in mente, in un intorno del punto critico. Un esempio che stronca subito la tua congettura è la funzione \[f(x, y)=x^3+y^3.\]
Nell'origine si annulla, la matrice Hessiana è identicamente nulla (quindi ha solo l'autovalore nullo), ma il punto non è di minimo perché è una sella. E non c'è nessuna retta di punti di minimo, naturalmente. Manco a dirlo, questa funzione non è una forma quadratica.