Help urge Endomorfismi,conica,retta piani e circonferenza
Ciao a tutti mi chiamo Alessandro e sono nuovo, per cui scusatemi se sbaglierò sicuramente qualcosa. Veniamo al dunque: oggi tra poche ore avrò l'esame e volevo il vostro aiuto su 3 esercizi che non mi vengono. Spero in un miracolo. Allore gli es sono:
1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un vettore non appartenente a Imf;
(c) posto k = −2, si verifichi che il corrispondente endomorfismo e’ semplice e si indichi una base di R2
rispetto alla quale tale endomorfismo ha matrice diagonale.
Nel punto a ho ridotto ed ho trovato che se k=-2 Rg(A)=dimIm=1...dimker=1 ed un vettore delker è uguale a (x,x) quindi può essere (1,1). Per quanto riguarda la base dell'Im ho preso la matrice di partenza ho sostituito k con -2 ed ho ridotto per colonne trovando così la base (3,2). Fin qui tutto giusto? Poi ho calcolato con k diverso da -2: Rg(A)=2, dimker=0. E qui il primo dubbio la base del ker può essere il vettore nullo, dato che dimker=0? Per l'immagine riprendo quella iniziale con k e riduco per colonne trovando così la base (0,k+2).
Nel punto b invece non so proprio come fare.
Nel punto c invece ovviamente sostituisco k con -2 e poi tratto la matrice come se dovessi trovare gli autovettori. Le soluzioni mi vengono k1=0 e k2=1 entrambe hanno molteplicità 1 quindi la matrice è diagonalizzabile, quindi semplice. Vado a sonstituire i valori e mi trovo i vettori (1,1) ed (3/2,1).
Questo è per quanto riguarda il primo es. Vi ringrazio tutti anticipatamente.
2)Data l’equazione y = $(x−3)/(2x−1)$
(a) si verifichi che rappresenta una conica e si dica di che conica si tratta ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.
Nel punto a per verificare non ne ho la più pallida idea...mentre per sapere di ce conica si tratta ho moltiplicato y per 2x-1 sviluppando così il prodotto xy poi mi sono costruito la matrice associata (penso si chiami così) e il risultato mi è venuto -5/2 che è diverso da 0 quindi non è degenere. facendo la matrice dei termini di secondo grado il risultato è -1 che è <0 quindi è un'iperbole. Da qui ho trattato quest'ultima matrice come per diagonalizzarla e le soluzioni sono venute uguali a k1=-1 e k2=1. Sostituisco trovando gli autovettori rispettivamente (-1,1) e (1,1), li normalizzo e mi vengono i vettori ($-1/sqrt(2)$, $1/sqrt(2)$) e ($1/sqrt(2)$), $1/sqrt(2)$). Dopodichè per la matrice di passaggio li devo mettere in riga o in colonna? e infine la matrice che si somma a quella di passaggio come faccio a trovarla? Per trovare poi la forma canonica???
3)(a) si determini una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P(−3,−1, 0) e
parallela all’asse y;
(b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
(c) si determini il piano che passa per la retta r trovata in (a) e che interseca la superficie sferica
S : $(x + 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$ in una circonferenza di raggio massimo.
QUESTO PROPRIO NON LO SO FARE.
Vi ringrazio tutti e spero che sappiate risolvere i miei dubbi perchè mi sento già col cappio al collo...Ciao e grazie ancora
1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un vettore non appartenente a Imf;
(c) posto k = −2, si verifichi che il corrispondente endomorfismo e’ semplice e si indichi una base di R2
rispetto alla quale tale endomorfismo ha matrice diagonale.
Nel punto a ho ridotto ed ho trovato che se k=-2 Rg(A)=dimIm=1...dimker=1 ed un vettore delker è uguale a (x,x) quindi può essere (1,1). Per quanto riguarda la base dell'Im ho preso la matrice di partenza ho sostituito k con -2 ed ho ridotto per colonne trovando così la base (3,2). Fin qui tutto giusto? Poi ho calcolato con k diverso da -2: Rg(A)=2, dimker=0. E qui il primo dubbio la base del ker può essere il vettore nullo, dato che dimker=0? Per l'immagine riprendo quella iniziale con k e riduco per colonne trovando così la base (0,k+2).
Nel punto b invece non so proprio come fare.
Nel punto c invece ovviamente sostituisco k con -2 e poi tratto la matrice come se dovessi trovare gli autovettori. Le soluzioni mi vengono k1=0 e k2=1 entrambe hanno molteplicità 1 quindi la matrice è diagonalizzabile, quindi semplice. Vado a sonstituire i valori e mi trovo i vettori (1,1) ed (3/2,1).
Questo è per quanto riguarda il primo es. Vi ringrazio tutti anticipatamente.
2)Data l’equazione y = $(x−3)/(2x−1)$
(a) si verifichi che rappresenta una conica e si dica di che conica si tratta ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.
Nel punto a per verificare non ne ho la più pallida idea...mentre per sapere di ce conica si tratta ho moltiplicato y per 2x-1 sviluppando così il prodotto xy poi mi sono costruito la matrice associata (penso si chiami così) e il risultato mi è venuto -5/2 che è diverso da 0 quindi non è degenere. facendo la matrice dei termini di secondo grado il risultato è -1 che è <0 quindi è un'iperbole. Da qui ho trattato quest'ultima matrice come per diagonalizzarla e le soluzioni sono venute uguali a k1=-1 e k2=1. Sostituisco trovando gli autovettori rispettivamente (-1,1) e (1,1), li normalizzo e mi vengono i vettori ($-1/sqrt(2)$, $1/sqrt(2)$) e ($1/sqrt(2)$), $1/sqrt(2)$). Dopodichè per la matrice di passaggio li devo mettere in riga o in colonna? e infine la matrice che si somma a quella di passaggio come faccio a trovarla? Per trovare poi la forma canonica???
3)(a) si determini una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P(−3,−1, 0) e
parallela all’asse y;
(b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
(c) si determini il piano che passa per la retta r trovata in (a) e che interseca la superficie sferica
S : $(x + 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$ in una circonferenza di raggio massimo.
QUESTO PROPRIO NON LO SO FARE.
Vi ringrazio tutti e spero che sappiate risolvere i miei dubbi perchè mi sento già col cappio al collo...Ciao e grazie ancora
Risposte
Ragazzi se sapete anche solo un esercizio va bene lo stesso...
"Xorik":
Ciao a tutti mi chiamo Alessandro e sono nuovo, per cui scusatemi se sbaglierò sicuramente qualcosa. Veniamo al dunque: oggi tra poche ore avrò l'esame e volevo il vostro aiuto su 3 esercizi che non mi vengono. Spero in un miracolo. Allore gli es sono:
1) Dato l’endomorfismo fk di R2 definito da fk(x, y) = (3x − 3y, 2x + ky) con k parametro reale
(a) per ogni valore del parametro k si determinino Kerfk e Imfk e se ne trovino base e dimensione ;
(b) posto k = −2, si determini (se esiste) un vettore non appartenente a Imf;
(c) posto k = −2, si verifichi che il corrispondente endomorfismo e’ semplice e si indichi una base di R2
rispetto alla quale tale endomorfismo ha matrice diagonale.
Nel punto a ho ridotto ed ho trovato che se k=-2 Rg(A)=dimIm=1...dimker=1 ed un vettore delker è uguale a (x,x) quindi può essere (1,1). Per quanto riguarda la base dell'Im ho preso la matrice di partenza ho sostituito k con -2 ed ho ridotto per colonne trovando così la base (3,2). Fin qui tutto giusto? Poi ho calcolato con k diverso da -2: Rg(A)=2, dimker=0. E qui il primo dubbio la base del ker può essere il vettore nullo, dato che dimker=0? Per l'immagine riprendo quella iniziale con k e riduco per colonne trovando così la base (0,k+2).
a occhio mi pare vada, non ho fatto i conti...
se $dimkerfk=0$ vuol dire che c'è solo il vettore nullo, cioè è uno spazio vettoriale che contiene solo il vettore $(0,0)$. Se il ker ha dimensione zero, l'immagine ha dimensione 2, quindi devi avere due vettori che fanno da base, per esempio le due colonne della matrice...
"Xorik":
Nel punto b invece non so proprio come fare.
se l'immagine ha base (3,2), un vettore che nn sta nell'immagine non è un multiplo scalare di questo vettore, cioè non sta in questo sottospaziovettoriale, quindi...
"Xorik":
Nel punto c invece ovviamente sostituisco k con -2 e poi tratto la matrice come se dovessi trovare gli autovettori. Le soluzioni mi vengono k1=0 e k2=1 entrambe hanno molteplicità 1 quindi la matrice è diagonalizzabile, quindi semplice. Vado a sonstituire i valori e mi trovo i vettori (1,1) ed (3/2,1).
Questo è per quanto riguarda il primo es. Vi ringrazio tutti anticipatamente.
esatto. (a meno di vedere i conti che non ho fatto)
"Xorik":
2)Data l’equazione y = $(x−3)/(2x−1)$
(a) si verifichi che rappresenta una conica e si dica di che conica si tratta ;
(b) si trovi una forma canonica per l’equazione data.
Nel punto a per verificare non ne ho la più pallida idea...mentre per sapere di ce conica si tratta ho moltiplicato y per 2x-1 sviluppando così il prodotto xy poi mi sono costruito la matrice associata (penso si chiami così) e il risultato mi è venuto -5/2 che è diverso da 0 quindi non è degenere. facendo la matrice dei termini di secondo grado il risultato è -1 che è <0 quindi è un'iperbole. Da qui ho trattato quest'ultima matrice come per diagonalizzarla e le soluzioni sono venute uguali a k1=-1 e k2=1. Sostituisco trovando gli autovettori rispettivamente (-1,1) e (1,1), li normalizzo e mi vengono i vettori ($-1/sqrt(2)$, $1/sqrt(2)$) e ($1/sqrt(2)$), $1/sqrt(2)$). Dopodichè per la matrice di passaggio li devo mettere in riga o in colonna? e infine la matrice che si somma a quella di passaggio come faccio a trovarla? Per trovare poi la forma canonica???
per verificare che è una conica va bene sviluppare come hai fatto te e vedere poi la matrice, non vedo male in ciò...
per ridurla alla formula standard un consoglio molto diretto se hai occhio è utilizzare il completamento dei quadrati nella versione sviluppata della conica e poi fai un cambio di cordinate per sistemare le cose...
"Xorik":
3)(a) si determini una rappresentazione cartesiana della retta r passante per il punto P(−3,−1, 0) e
parallela all’asse y;
(b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
(c) si determini il piano che passa per la retta r trovata in (a) e che interseca la superficie sferica
S : $(x + 2)^2 + (z + 4)^2 = 9$ in una circonferenza di raggio massimo.
QUESTO PROPRIO NON LO SO FARE.
Vi ringrazio tutti e spero che sappiate risolvere i miei dubbi perchè mi sento già col cappio al collo...Ciao e grazie ancora
a) puoi prendere l'asse y (la retta $(0,k,0)$), traslarlo lungo il vettore $P$, ottenendo la retta $(-3,-1+k,0)$. questa è la forma parametrica, da qui puoi trovare la cartesiana...
il secondo punto è di teoria (osserva dove passa)...
se hai ancora dubbi chiedi.
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due cosa (da moderatore): 1) non è troppo gradito il secondo post a distanza di un ora dal primo. Anche se non è in cima, chi vuole leggerlo lo trova comunque... Questa volta faccio finta di non vedere
2) sei invitato a usare maggiormente la scrittura in codice, se non altro per aiutare la lettura e quindi per aumentare la possibilità che qualcuno legga senza problemi il tuo post. A tal proposito puoi modificare le scritte nel post precedente.
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(3.b) si stabilisca se la retta r trovata in (a) e’ sottospazio vettoriale di R3 e in caso affermativo se ne
determini una base;
Non è che potresti proprio farmi vedere i passaggi per risolvere il punto. Anche se è di teoria...perchè proprio questi sottospazi non li capisco molto.
Inoltre cortesemente non è che potresti farmi anche vedere i passaggi per trovare la forma canonica(ovviamente del 2 esercizio)? Ovviamente già ti ringrazio con tanto di cappello...
Per il post non era da incavolato era solo per dire a tutti che non era necessario risolvere tutto. Se sembrava in tono maleducato mi scuso con tutti coloro che hanno letto e leggeranno.
per il secondo guarda la retta in che punto passa, Scrivi la definizione di spazio/sottospazio vettoriale e scoprirai (se vuoi fallo qui sul forum). Devi semplicemente accertarti che la definizione di spazio vettoriale sia o non sia soddisfatta.
Per il terzo prima che ti dica altro, dimmi come lo imposteresti.
Potresti considerare il fascio di piani passanti per la retta che hai trovato e selezionare quello che passa per l'equatore della sfera, prova a farlo, posta i conti e vediamo dove e se trovi difficoltà.
Per il terzo prima che ti dica altro, dimmi come lo imposteresti.
Potresti considerare il fascio di piani passanti per la retta che hai trovato e selezionare quello che passa per l'equatore della sfera, prova a farlo, posta i conti e vediamo dove e se trovi difficoltà.
Il punto è che proprio non so che pesci pigliare per trovare la forma canonica del 2.2, e non capisco proprio cosa devo fare nel 3.2 per vedere se la retta trovata è sottospazio di R^3...e l'esame è tra 1 ora...non ce la farò mai a capire!!!
beh se non sai la dafinizione... per cominciare guarda se passa per l'origine, esso è necessario per vedere se è un sottospazio vettoriale.
Non pensi che sia un pò tardi per risolvere gli ultimi dubbi l'ora prima dell'esame?
Non pensi che sia un pò tardi per risolvere gli ultimi dubbi l'ora prima dell'esame?
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