Help su Ker e Im di una matrice
Salve a tutti, se possibile gradirei spiegazioni (magari con un esempio semplice semplice), sul significa del Ker e dell'immagine di una matrice. Non ho bisogno di definizioni molto formali, anzi più semplici sono e meglio è. Grazie mille a tutti
Risposte
"martinmistere":
Salve a tutti, se possibile gradirei spiegazioni (magari con un esempio semplice semplice), sul significa del Ker e dell'immagine di una matrice. Non ho bisogno di definizioni molto formali, anzi più semplici sono e meglio è. Grazie mille a tutti
L'immagine è, in parole semplici, quello che i vettori l.i della matrice generano(e la sua dimensione è pari al rango[ $dim(V) = dim(ker)+dim(Im)$])...il nucleo(o ker che dir si voglia) e dove la matrice si "annulla", dove cioè va a finire in 0...
Ciauz
cosa intendi per "dove la matrice si annulla" ?
cioè
$ A \in M_{nxn}(\mathbb{K})$
Allora il $ker$ lo trovi con
$Ax=\bar0$ dove $x^T=[x_1 \cdots x_n]$ e $\bar0^T=[0 \cdots 0]$
Il tutto poichè, data una applicazione lineare tra due spazi vettoriali $V,W$ e una matrice che lo rappresenta, $ker(A) = { v \in V | F(v) = 0_W}$
Ciauz
$ A \in M_{nxn}(\mathbb{K})$
Allora il $ker$ lo trovi con
$Ax=\bar0$ dove $x^T=[x_1 \cdots x_n]$ e $\bar0^T=[0 \cdots 0]$
Il tutto poichè, data una applicazione lineare tra due spazi vettoriali $V,W$ e una matrice che lo rappresenta, $ker(A) = { v \in V | F(v) = 0_W}$
Ciauz
"martinmistere":
cosa intendi per "dove la matrice si annulla" ?
Se $A$ è la tua matrice, l'insieme dei vettori "dove la matrice si annulla" è il sottoinsieme (anzi sottospazio) formato dai vettori $v$ che soddisfano a questa condizione:
$Av$ = $0$
Mi fermo qui, perchè credo d'aver risposto alla tua domanda. Se vuoi sapere come si determinano i vettori $v$, chiedi...
ok ragazzi, grazie a tutti per la spiegazione! 
"martinmistere":
ok ragazzi, grazie a tutti per la spiegazione!
nulla... sto preparando l'esame di alg. lineare.... è ripasso
Se la trasformazione lineare porta da uno spazio $V $ a uno spazio $W $ , quindi trasforma appunto vettori $v in V $ in vettori $w in W $ tramite la matrice $A$ , $w =Av $ , allora il ker della trasformazione è la controiimagine del vettore nullo dello spazio di arrivo, cioè dello spazio $W $ .
In poche parole il ker è il sottospazio dei vettori di $V $ che vengono trasformati nel vettore nullo di $W$ .
Per determinare da quali vettori di $V$ sia formato il ker, basta risolvere il sistema lineare omogeneo : $A v = 0 $.
Certamente il ker è formato almeno dal vettore nullo di $V $, ma ce ne possono essere infiniti altri...
In poche parole il ker è il sottospazio dei vettori di $V $ che vengono trasformati nel vettore nullo di $W$ .
Per determinare da quali vettori di $V$ sia formato il ker, basta risolvere il sistema lineare omogeneo : $A v = 0 $.
Certamente il ker è formato almeno dal vettore nullo di $V $, ma ce ne possono essere infiniti altri...
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