Help piccolo esercizio spazio vettoriale
Ciao ragazzi mi serviva un aiuto per questo esercizio di algebra lineare:
Nello spazio vettoriale \(\displaystyle R_4 \) si consideri il sottoinsieme
\(\displaystyle E = {(2r+s+t+2u,r-s+5t-5u,s-3t+4u,r+2t-u) | r,s,t,u ∈ R} \)
(a) Dopo aver stabilito che \(\displaystyle E \) è un sottospazio di \(\displaystyle R_4 \), se ne trovi una base
(b) Trovare due sottospazi \(\displaystyle F,G \) di \(\displaystyle R_4 \) in maniera che \(\displaystyle E + F = E + G = R_4 \) , dove la prima somma è diretta e la seconda no.
Per quanto riguarda (a) ho pensato che per verificare che \(\displaystyle E ∈ R_4 \) dimostro ed è facile vedere che il vettore nullo \(\displaystyle (0,0,0,0) ∈ E \) e per trovare una base creo una matrice dei vettori colonna di E, trovo il rango e vedo quali sono linearmente indipendenti e trovo una base, se ora mi sto sbagliando vi prego di correggermi.
Per quanto riguarda il secondo punto sono molto disorientato, vi ringrazio in anticipo.
Nello spazio vettoriale \(\displaystyle R_4 \) si consideri il sottoinsieme
\(\displaystyle E = {(2r+s+t+2u,r-s+5t-5u,s-3t+4u,r+2t-u) | r,s,t,u ∈ R} \)
(a) Dopo aver stabilito che \(\displaystyle E \) è un sottospazio di \(\displaystyle R_4 \), se ne trovi una base
(b) Trovare due sottospazi \(\displaystyle F,G \) di \(\displaystyle R_4 \) in maniera che \(\displaystyle E + F = E + G = R_4 \) , dove la prima somma è diretta e la seconda no.
Per quanto riguarda (a) ho pensato che per verificare che \(\displaystyle E ∈ R_4 \) dimostro ed è facile vedere che il vettore nullo \(\displaystyle (0,0,0,0) ∈ E \) e per trovare una base creo una matrice dei vettori colonna di E, trovo il rango e vedo quali sono linearmente indipendenti e trovo una base, se ora mi sto sbagliando vi prego di correggermi.
Per quanto riguarda il secondo punto sono molto disorientato, vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Ciao lory 
Ho letto l'esercizio e ho scritto una possibile soluzione che ti riporto qui.
a) In questo punto, per dimostrare che E è un sottospazio di $ R^4 $ non è sufficiente verificare che il vettore nullo appartiene ad esso. Devi anche vedere la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalari. Presi dunque $ r,s,t,u $ ho il vettore $ (2r+s+t+2u, r-s+5t-5u,s-3t+4u,r+2t-u) $ e presi $ a,b,c,d $ ho il vettore $ (2a+b+c+2d,a-b+5c-5d,b-3c+4d,a+2c-d) $.La somma di questi due è $ (2r+s+t+2u+2a+b+c+2d,r-s+5t-5u+a-b+5c-5d,s-3t+4u+b-3c+4d,r+2t-u+a+2c-d) $
che posso riscrivere come $ (2(r+a)+(s+b)+(t+c)+2(u+d),(r+a)-(s+b)+5(t+c)-5(u+d),(s+b)-3(t+c)+4(u+d),(r+a)+2(t+c)-(u+d)) $ che è un vettore di E con coefficienti $ r+a, s+b,t+c,u+d $.
Devi verificare che sia chiuso anche rispetto al prodotto per scalari ma si fa in maniera analoga.
Per trovare una base di e è sufficiente raccogliere separare le somme e raccogliere $ r,s,t,u $ e vedere l'indipendenza dei vettori risultanti. Esempio $ (2,1,0,1),(1,-1,1,0) $. La dimensione di E è 2.
Ho letto l'esercizio e ho scritto una possibile soluzione che ti riporto qui.
a) In questo punto, per dimostrare che E è un sottospazio di $ R^4 $ non è sufficiente verificare che il vettore nullo appartiene ad esso. Devi anche vedere la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalari. Presi dunque $ r,s,t,u $ ho il vettore $ (2r+s+t+2u, r-s+5t-5u,s-3t+4u,r+2t-u) $ e presi $ a,b,c,d $ ho il vettore $ (2a+b+c+2d,a-b+5c-5d,b-3c+4d,a+2c-d) $.La somma di questi due è $ (2r+s+t+2u+2a+b+c+2d,r-s+5t-5u+a-b+5c-5d,s-3t+4u+b-3c+4d,r+2t-u+a+2c-d) $
che posso riscrivere come $ (2(r+a)+(s+b)+(t+c)+2(u+d),(r+a)-(s+b)+5(t+c)-5(u+d),(s+b)-3(t+c)+4(u+d),(r+a)+2(t+c)-(u+d)) $ che è un vettore di E con coefficienti $ r+a, s+b,t+c,u+d $.
Devi verificare che sia chiuso anche rispetto al prodotto per scalari ma si fa in maniera analoga.
Per trovare una base di e è sufficiente raccogliere separare le somme e raccogliere $ r,s,t,u $ e vedere l'indipendenza dei vettori risultanti. Esempio $ (2,1,0,1),(1,-1,1,0) $. La dimensione di E è 2.
b) Per trovare $ F $ è sufficiente prendere una base di $ R^4 $ che comprenda i due vettori di base di $ E $. Quindi se $ {(2,1,0,1),(1,-1,1,0),v_1,v_2} $ è una base di $ R^4 $, $ F $ sarà dato da $ $.
Per trovare $ G $ ho tenuto conto del fatto che non potendo stare in somma diretta, ci deve essere un'intersezione tra $ E $ e $ G $. Usando la formula di Grassmann si ha che $ 4=dim(E+G)=2+dimG-dim(EnnG) $ quindi una possibile combinazione è che $ G $ abbia dimensione 3 e l'intersezione 1.
Per ottenere questo ho calcolato le equazioni cartesiane di $ E $: $ { ( -x+2y+z=0 ),( -x-y+3t=0 ):} $ e ho cercato l'equazione di un sottospazio che potesse risolvere il problema. Il sottospazio che ho trovato è questo $ x=y+z+t $. Se lo metti nel sistema, vedi che nell'intersezione ci stanno i vettori $ <(2,1,0,1)> $ e una base di $ G $ è costituita dai vettori $ {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} $.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi pure.
Ciao!
Per trovare $ G $ ho tenuto conto del fatto che non potendo stare in somma diretta, ci deve essere un'intersezione tra $ E $ e $ G $. Usando la formula di Grassmann si ha che $ 4=dim(E+G)=2+dimG-dim(EnnG) $ quindi una possibile combinazione è che $ G $ abbia dimensione 3 e l'intersezione 1.
Per ottenere questo ho calcolato le equazioni cartesiane di $ E $: $ { ( -x+2y+z=0 ),( -x-y+3t=0 ):} $ e ho cercato l'equazione di un sottospazio che potesse risolvere il problema. Il sottospazio che ho trovato è questo $ x=y+z+t $. Se lo metti nel sistema, vedi che nell'intersezione ci stanno i vettori $ <(2,1,0,1)> $ e una base di $ G $ è costituita dai vettori $ {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} $.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi pure.
Ciao!
veramente ottimo e chiaro il suo procedimento! grazie infinite peter
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