HELP-ME

[sastra81]

se ho un gruppo G e x,y due suoi elementi allora
il =* sempre?
Grazie

[ottusangolo]

Ciao Sastra,
SONO STUPEFATTO!
Un quesito apparentemente così semplice ( dico apparentemente data la mia quasi totale ignoranza in algebra) dopo tutto quello che hai postato!
Sarei quasi tentato di risponderti se mi chiarisci cosa sono quei segni *, < >

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se ho un gruppo G e x,y due suoi elementi allora
il =* sempre?
Grazie

No. Ad esempio prendiamo un gruppo G di ordine pq non ciclico. Prendiamo due elementi x e y di ordine q tali che e sono disgiunti: tali elementi esistono, poiché, per uno dei teoremi Sylow, i sottogruppi di ordine q di G sono p. Se fosse uguale a , allora sarebbe un sottogruppo di G di ordine q^2, e quindi q^2 dividerebbe pq: assurdo.

[ottusangolo]

MA DI COSA STATE PARLANDO?
Qualche anima buona può spiegarmi cosa si intende per gruppi ,, , * ?
Perchè se come mi sembra di capire
=[x^0,x, x^2,x^3,.....x^p-1], gruppo generato da x
=[y^0,.........y^q-1], gruppo generato da y
=gruppo generato dai due elementi x e y
*=[xy, con x in e y in ], prodotto diretto
ALLORA o le mie già misere conoscenze di algebra si sono azzerate del tutto (possibile dopo tanti anni)
oppure si tratta di ALGEBRA MARZIANA (Sylow non è il famoso matematico norvegese, ecc.,ecc.)

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Algebra marziana?

Mi sembra tra l'altro che conosci le definizioni appropriate. Comunque se x è un elemento di G, ={x^n | n è un intero}, quindi ci sono tutte le possibilmente infinite potenze di x, anche se prima ho tirato in ballo i gruppi finiti. Le altre definizioni sono giuste.

Comunque i teoremi di Sylow penso che siano noti a tutti... Anche se potevo anche fare a meno di invocarli (solo il farlo mi ha risparmiato tempo )

[ottusangolo]

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No. Ad esempio prendiamo un gruppo G di ordine pq non ciclico. Prendiamo due elementi x e y di ordine q tali che e sono disgiunti: tali elementi esistono, poiché, per uno dei teoremi Sylow, i sottogruppi di ordine q di G sono p. Se fosse uguale a , allora sarebbe un sottogruppo di G di ordine q^2, e quindi q^2 dividerebbe pq: assurdo.[/quote]

Se concordiamo sulle definizioni, come mi confermi, allora
o è algebra marziana o i teor. di Silow non sono poi così noti.
Tralasciando il fatto di come due sottogruppi possano essere disgiunti,
o.k, scherzo, volevi dire distinti ma purtroppo in generale nessuno ce lo dice tantomeno Silow,
perchè non è vero per p e q qualsiasi (e questo ironia della sorte discende direttamente dal
suddetto teorema.)

Per me si poteva rispondere NO semplicemente perchè non tutti i gruppi sono abeliani.
Ciao!


P.S
Quindi...lasciamo ...a Sastra, trovare..il.. 'naturale'... controesempio
Ciao!

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Se concordiamo sulle definizioni, come mi confermi, allora
o è algebra marziana o i teor. di Silow non sono poi così noti.
Tralasciando il fatto di come due sottogruppi possano essere disgiunti,
o.k, scherzo, volevi dire distinti ma purtroppo in generale nessuno ce lo dice tantomeno Silow,
perchè non è vero per p e q qualsiasi (e questo ironia della sorte discende direttamente dal
suddetto teorema.)

Per disgiunti si intende ovviamente che la loro interesezione è uguale a {1}. Inoltre è evidente che se due sottogruppi di ordine q sono fra loro distinti, allora sono anche disgiunti, a causa del teorema di Lagrange e del fatto che q è primo.

Inoltre, per i teoremi di Sylow, un gruppo di ordine pq non ciclico, ha esattamente un sottogruppo di ordine p e p sottogruppi di ordine q.

Per me si poteva rispondere NO semplicemente perchè non tutti i gruppi sono abeliani.

Questo non spiega niente. Può essere che = anche senza che x e y commutino fra loro.

[ottusangolo]

O.K.
frase infelice come la provocazione non raccolta!
Ringrazio Fields di essersi almeno interessato all'argomento.
Per chi si imbattesse in questa paradossale discussione ecco il mio punto di vista (e si prega non farsi condizionare dal nick scelto):
Giustamente di per sè, il fatto che G possa non essere abeliano non dice molto (e sia pure, non dice nulla!); In generale infatti A implica B non è equivalente a -A implica -B (ma a -B implica -A)Però suggerisce moltissimo.
Una classe diciamo 'quasi universale' di gruppi non abeliani è quella(famosa o famigerata) dei gruppi simmetrici di ordine n
Scelto n=3, le applicazioni biiettive di un insieme di 3 elementi formano un gruppo G(3) di ordine 6, precisamente composto da
f:(1,2,3) associa (2,1,3)
g:(1,2,3) ,,,,,,,,(2,3,1)
f^2=g^3=I (1,2,3),,,,(1,2,3)
fg:( ),,,,,(3,2,1)
gf:( ),,,,,(1,3,2)
g^2:( ),,,,(3,1,2)

Ove si nota che fg è diverso da gf

Siano quindi e ,che sono due sottogruppi di G(3) di ordine 2
Ora *
ha ordine 4 e n.b. non è neppure un gruppo
mentre=G(3)
STOP
senza saper nulla di gruppi ciclici, non ciclici e di Sylow.

PER QUANTO RIGUARDA SILOW

Mi riferivo a questo teor."Se p è primo e p^m divide o(G) allora esiste in G un sottogruppo di ordine p^m (detto p-Silow se P^m+1 non divide o(G) ) Discende da ciò inoltre
che il numero dei p-Silow è del tipo 1+kp
Ciò rende molto difficile(non impossibile,vedi es. sopra) che un gruppo G con 0(G)=pq abbia p sottogruppi di ordine q
es G , , con 0(G)=35 0()=5, 0()=7
ma anche per non prendere p e q primi con o(G)=11^2*13^2.

Un saluto a tutti e particolarmente affettuoso a Doremifa, Aethelmyth e Salamandra.
e mi scuso per eventuali imprecisioni dovute alla fretta.

P.S Per lasciare l'ultimo post a Fields aggiungo ora dopo le sue belle parole e il suo originalissimo esempio:Fine del paradosso! Per chi si volesse sbizzarrire può provare se funziona anche per G(5), algebricamente, o se preferisce l'approccio geometrico per D(5) Ah,dimenticavo SYLOW con la Y non con la i, si tratta dello stesso mat. norvegese precedentemente citato, perdonate il lapsus freudiano!

P.S E sia chiaro (visto che si insiste) che in questo post non c'è alcuna ironia (per una volta che mi sono trattenuto!) tantomeno voluta dalla sorte.

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Per chi si imbattesse in questa paradossale discussione

Scusami, ottusangolo, la discussione è paradossale semplicemente perché stai "bucando" tutti i tuoi interventi. (tra l'altro su un topic archiviato e concluso fin dall'inizio )

Per quanto riguarda Sylow (con la y), come puoi vedere dai mei post, io ho ripetuto più volte di considerare un gruppo G di ordine pq NON CICLICO, ovvero non abeliano. Un tale gruppo contiene necessariamente p sottogruppi di ordine q. Se ancora non credi alla mia affermazione, basta che consideri il gruppo diedrale di ordine 6=3*2, il più piccolo gruppo non abeliano, e quindi il più piccolo controesempio assoluto al quesito posto da Sastra.

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Tra l'altro, il tuo controesempio, ottusangolo, "per ironia della sorte", è proprio un gruppo di ordine pq (6=3*2). Dopo esserti lamentato a non finire su Sylow e i sottogruppi di ordine pq... Come vedi la ragion d'essere del tuo controesempio è stata giustificata per via teorica.