Help interpretazione testo teoria matrici
Salve, non riesco a capire un passaggio di un testo di teoria delle matrici. Fino a questo punto
Tutto ok. Poi però viene questo
E qui non riesco a capire. Se io volessi ottenere la matrice $M'$ nelle basi $\beta '$ e $\gamma '$ prima applicherei la matrice di passaggio $\beta' \rightarrow \beta$ (cioè $P^{-1}$) poi $M$ (da $\beta$ a $\gamma$) e infine la matrice di passaggio $\gamma \rightarrow \gamma'$ (cioè $Q$) e quindi io scriverei $M' = Q M P^{-1}$ E invece è sbagliato, perchè?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Grazie.
Tutto ok. Poi però viene questo
E qui non riesco a capire. Se io volessi ottenere la matrice $M'$ nelle basi $\beta '$ e $\gamma '$ prima applicherei la matrice di passaggio $\beta' \rightarrow \beta$ (cioè $P^{-1}$) poi $M$ (da $\beta$ a $\gamma$) e infine la matrice di passaggio $\gamma \rightarrow \gamma'$ (cioè $Q$) e quindi io scriverei $M' = Q M P^{-1}$ E invece è sbagliato, perchè?
Grazie.
Risposte
Allora....
mettiamoci d'accordo sui fondamenti:
ho la base $\beta$, cioè una matrice con dei vettori scritti in colonna che sono le basi del mio spazio.
Se voglio ottenere i vettori della base $\beta'$, devo moltiplicare a destra per $P$, cioè:
$\beta' = \beta\ P$.
Viceversa, se ho un vettore $b_1$ scritto nella base $\beta$ e lo voglio scritto nella base $\beta'$ devo fare:
$b_1' = P^(-1)\ b_1$.
Da cui è scontato che $b_1 = P\ b_1'$
Bene, adesso partiamo:
conosco la matrice $M$ tale per cui $g_1 \in \gamma$, $\g_1 = M\ b_1$
voglio sapere chi è $M'$ tale che $\g_1' = M'\ b_1'$
Parto da $b_1'$, e sono nel mondo della base $\beta'$
Moltiplico a sx per $P$, cioè $P\ b_1'$ e vado nel mondo $\beta$, ottenendo $b_1$
Moltiplico $M$, cioè $M\ P\ b_1'$ e sono nel mondo $\gamma$ e ho $g_1$.
Moltiplico $Q^(-1)$ e arrivo finalmente in $\gamma'$ ottenendo $g_1'$.
Ricapitolando: $g_1' = Q^(-1) M\ P\ b_1'$
ovvero $M'\ =Q^(-1) M\ P$
e così anch'io ho ripassato i cambi di base.
mettiamoci d'accordo sui fondamenti:
ho la base $\beta$, cioè una matrice con dei vettori scritti in colonna che sono le basi del mio spazio.
Se voglio ottenere i vettori della base $\beta'$, devo moltiplicare a destra per $P$, cioè:
$\beta' = \beta\ P$.
Viceversa, se ho un vettore $b_1$ scritto nella base $\beta$ e lo voglio scritto nella base $\beta'$ devo fare:
$b_1' = P^(-1)\ b_1$.
Da cui è scontato che $b_1 = P\ b_1'$
Bene, adesso partiamo:
conosco la matrice $M$ tale per cui $g_1 \in \gamma$, $\g_1 = M\ b_1$
voglio sapere chi è $M'$ tale che $\g_1' = M'\ b_1'$
Parto da $b_1'$, e sono nel mondo della base $\beta'$
Moltiplico a sx per $P$, cioè $P\ b_1'$ e vado nel mondo $\beta$, ottenendo $b_1$
Moltiplico $M$, cioè $M\ P\ b_1'$ e sono nel mondo $\gamma$ e ho $g_1$.
Moltiplico $Q^(-1)$ e arrivo finalmente in $\gamma'$ ottenendo $g_1'$.
Ricapitolando: $g_1' = Q^(-1) M\ P\ b_1'$
ovvero $M'\ =Q^(-1) M\ P$
e così anch'io ho ripassato i cambi di base.
Grazie Quinzio! 
Ora ti dico quello che non mi quadra
Eh no scusa se $P$ è la matrice per passare da $\beta$ a $\beta'$ allora io avrei fatto $b_1' = P * b_1$
Leggi anche http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_cambiamento_di_base apparentemente sembra darmi ragione. Potrebbe essere una di quelle notazioni che cambiano da testo a testo?
Ora ti dico quello che non mi quadra"Quinzio":
Viceversa, se ho un vettore $b_1$ scritto nella base $\beta$ e lo voglio scritto nella base $\beta'$ devo fare:
$b_1' = P^(-1)\ b_1$.
Eh no scusa se $P$ è la matrice per passare da $\beta$ a $\beta'$ allora io avrei fatto $b_1' = P * b_1$
Leggi anche http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di_cambiamento_di_base apparentemente sembra darmi ragione. Potrebbe essere una di quelle notazioni che cambiano da testo a testo?
No è sbagliata la pagina di Wiki, questo paragrafo http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_di ... domorfismi.
L'avevo già notata quella pagina, fa decisamente pena. Quella in inglese è più completa ma è praticamente incomprensibile (a mio parere).
Comunque: in uno spazio vettoriale, un vettore deve potersi scrivere come combinazione dei vettori di una base. Tale combinazione è quella che si chiama il vettore dei componenti (nota già da qui l'ambiguità terminologica)
Due basi diverse daranno luogo a diversi vettori di componenti, ma il vettore è sempre quello.
In formule:
$\bb v = B\ [X]_B = B'\ [X']_(B')$
Ora, se prediamo come $B$ la base canonica, $B=\bb I$ l'identità, e la matrice di cambiamento di base da $B$ a $B'$ (chiamiamola $P$) è $P = B'$.
Da cui $[X]_B = P\ [X']_(B')$
L'avevo già notata quella pagina, fa decisamente pena. Quella in inglese è più completa ma è praticamente incomprensibile (a mio parere).
Comunque: in uno spazio vettoriale, un vettore deve potersi scrivere come combinazione dei vettori di una base. Tale combinazione è quella che si chiama il vettore dei componenti (nota già da qui l'ambiguità terminologica)
Due basi diverse daranno luogo a diversi vettori di componenti, ma il vettore è sempre quello.
In formule:
$\bb v = B\ [X]_B = B'\ [X']_(B')$
Ora, se prediamo come $B$ la base canonica, $B=\bb I$ l'identità, e la matrice di cambiamento di base da $B$ a $B'$ (chiamiamola $P$) è $P = B'$.
Da cui $[X]_B = P\ [X']_(B')$
No Quinzio la pagina di Wikipedia non è necessariamente sbagliata. Dopo aver consultato i testi di agebra lineare di Sernesi, Lang e Abate finalmente credo di aver capito qual'è il punto della questione: la definizione di matrice di cambiamento di base. Infatti Sernesi e Lang la definiscono come wikipedia:
Dato uno spazio vettoriale $V$ e due sue basi $\beta$ e $\beta'$ la matrice $M$ del cambiamento di base da $\beta$ a $\beta'$ è la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di $\beta$ espressi nella base $\beta'$
Di conseguenza questi due autori dicono $x'=Mx$ (essendo $x$ e $x'$ i vettori colonna delle componenti). Abate invece da quest'altra definizione
Dato uno spazio vettoriale $V$ e due sue basi $\beta$ e $\beta'$ la matrice $M$ del cambiamento di base da $\beta$ a $\beta'$ è la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di $\beta'$ espressi nella base $\beta$
e quidi per lui $x=Mx'$. Io purtroppo avendo studiato dal Sernesi sono rimasto spiazzato, ma adesso credo di aver capito che come al solito è... questione di autori.
Dato uno spazio vettoriale $V$ e due sue basi $\beta$ e $\beta'$ la matrice $M$ del cambiamento di base da $\beta$ a $\beta'$ è la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di $\beta$ espressi nella base $\beta'$
Di conseguenza questi due autori dicono $x'=Mx$ (essendo $x$ e $x'$ i vettori colonna delle componenti). Abate invece da quest'altra definizione
Dato uno spazio vettoriale $V$ e due sue basi $\beta$ e $\beta'$ la matrice $M$ del cambiamento di base da $\beta$ a $\beta'$ è la matrice che ha per colonne le componenti dei vettori di $\beta'$ espressi nella base $\beta$
e quidi per lui $x=Mx'$. Io purtroppo avendo studiato dal Sernesi sono rimasto spiazzato, ma adesso credo di aver capito che come al solito è... questione di autori.
Sì sì confermo l'ambiguità, l'avevo riscontrata anch'io.
Grande! Mistero risolto. 
Nel caso interessasse a qualcuno, il testo citato nel primo post è "Matrices: Theory and Applications" di Denis Serre.
Nel caso interessasse a qualcuno, il testo citato nel primo post è "Matrices: Theory and Applications" di Denis Serre.
Il nipote di Jean-Pierre! E' stato il mio professore di Algebra qui a Lione ! Tra l'altro penso che lui di base sia un analista...
! Tra l'altro penso che lui di base sia un analista...
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