[HELP] Dimostrazione Teorema Dimensione

[GYX2]

Salve a tutti
Sto avendo qualche problemuccio nel comprendere la seconda parte della dimostrazione del seguente Teorema:

L'insieme $ S_0 $ delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $ AX=0 $ a $n$ equazioni ed $n$ incognite è un sottospazio vettoriale di $ K^n $ e si ha che: $ dimS_0=n-ρ(A) $

Fino al dimostrare che $ S_0 $ è sottospazio di $ K^n $ ci sto. Il problema lo incontro nel far mio il ragionamento per ricavare $ dimS_0=n-ρ(A) $.
Potreste essere così gentili da spiegarmelo?

Grazie ^^

[ciampax]

Ci sono vari modi per arrivarci. la dimostrazione che conosci tu che tipo di ragionamento segue?

[GYX2]

Utilizza l'applicazione $ω:K^q->S$, dicendo che poiché $ω$ è una biezione, $ω$ è un isomorfismo tra $K^q$ e $S_0$. Quindi $dimS_0=q=n-ρ(A)$.

Ecco quest'ultimo passaggio non mi è chiaro manco a lavarlo con il glassex .-.

[ciampax]

E $\omega$ sarebbe definita come?

[GYX2]

Questo non mi è ben chiaro, perché lo tira fuori da una precedente dimostrazione poco comprensibile.
Ti cito il passo:

"Una descrizione delle soluzioni del sistema $AX=0$ può esprimersi dicendo che, detto $S$ l'insieme delle soluzioni di $AX=0$, esiste una biezione

$ ω:K^q->S $

che associa all'arbitraria q-pla $(ξ_(k_1),...,ξ_(k_q))$ la soluzione completa $(ξ_1,...,ξ_n)$."

In altre parole non associa mai la $ ω$ ad una sua definizione precisa.
Per questo vorrei sapere se ci sono altri modi per dimostrare la seconda parte, e se sì, come

[ciampax]

Guarda che quella che hai scritto è la definizione precisa di $\omega$ che viene detta "inclusione". Ed è effettivamente una biiezione in quanto si dimostra che è iniettiva e suriettiva. Una volta dimostrato che tale applicazione è biiettiva, un semplice ragionamento dovuto al fatto che una qualsiasi applicazione lineare tra due spazi vettoriali risulta sempre un omomorfismo ti permette di concludere che essa è un isomorfismo e che, dunque, i due spazi tra cui la definisci devono avere dimensione uguale. Però sta tutto a capire come sceglie $q$ e questo, sicuramente, è fatto prima. In ogni caso le altre dimostrazioni di questo fatto sostanzialmente sono simili: quello che si fa vedere è che, in un modo o nell'altro, la dimensione di $S_0$ coincide con $n$ meno il rango della matrice $A$ e, anzi, questa mi sembra anche la più semplice. Se prendi tutto dall'inizio, posso spiegartelo passo passo.

[GYX2]

Chiedo venia per la mia ignoranza in materia, e ti ringrazio per le tue risposte

Comunque, andando a ripescare i collegamenti che fa a teoremi precedenti, si ha:

Dato un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite:

$ { ( a_(1,1)x_1+cdots+a_(1,n)x_n=b_1 ),( a_(2,1)x_1+cdots+a_(2,n)x_n=b_2 ),( cdots ),( a_(m,1)x_1+cdots+a_(m,n)x_n=b_m ):} $

Sia $D=[A^(j_1),...,A^(j_m)]$ un sistema massimale indipendente di colonne si $A$ (e quindi anche di $A|b$).
Gli indici $j_1,...,j_m$ sono allora a due a due distinti e ${j_1,...,j_m} sub {1,...,n}$. Sia $q=n-m$ e sia

${k_1,...,k_q} = {1,...,n} - {j_1,...,j_m}$.

Scriviamo il sistema precedente come segue:

$ { ( a_(1,j_1)x_(j_1)+cdots+a_(1,j_m)x_(j_m)=b_1- a_(1,k_1)x_(k_1)-cdots-a_(1,k_q)x_(k_q)),( cdots ),( a_(m,j_1)x_(j_1)+cdots+a_(m,j_m)x_(j_m)=b_m- a_(m,k_1)x_(k_1)-cdots-a_(m,k_q)x_(k_q) ):} $

Se fissiamo degli scalari $xi_(k_1),...,xi_(k_q)$ e li sostituiamo al secondo membro della precedente al posto delle incognite $x_(k_1),...,x_(k_q)$ otteniamo il sistema lineare:

$ { ( a_(1,j_1)x_(j_1)+cdots+a_(1,j_m)x_(j_m)=b_1- a_(1,k_1)xi_(k_1)-cdots-a_(1,k_q)xi_(k_q)),( cdots ),( a_(m,j_1)x_(j_1)+cdots+a_(m,j_m)x_(j_m)=b_m- a_(m,k_1)xi_(k_1)-cdots-a_(m,k_q)xi_(k_q) ):} $

La matrice dei coefficienti del sistema lineare così ottenuto è la sottomatrice quadrata $A_(1,...,m)^(j_1,...,j_m)$, che non è singolare, in quanto le sue colonne sono indipendenti, e non dipende dalla scelta degli scalari $xi_(k_1),...,xi_(k_q)$ che compaiono solo nella colonna dei termini noti. Quindi il sistema precedente è di Cramer ed ammette come unica soluzione la m-pla $( (xi_(j_1)), (vdots) , (xi_(j_m)) ) $, che si determina con la regola di Cramer. Ma allora la n-pla $( (xi_1), (vdots) , (xi_n) ) $ è una soluzione del sistema iniziale.
Al variare di tutte le possibili scelte di $xi_(k_1),...,xi_(k_q)$ si ottengono tutte e sole le soluzioni del sistema iniziale. infatti se

$((lambda_1),(vdots),(lambda_n))$

è una soluzione del sistema iniziale, sostituendo gli scalari $lambda_(k_1),...,lambda_(k_q)$ alle incognite $x_(k_1),...,x_(k_q)$ si ottiene un sistema di Cramer nelle incognite $x_(j_1),...,x_(j_m)$ che dovrà necessariamente ammettere come unica soluzione la m-pla costituita dagli scalari $lambda_(j_1),...,lambda_(j_m)$ e quindi anche la soluzione $((lambda_1),(vdots),(lambda_n))$ si ottiene nel modo sopra descritto. Tale descrizione di soluzioni del sistema iniziale può esprimersi anche dicendo che, detto S l'insieme delle soluzioni del sistema iniziale ($Ssubemathbb(K)^n$), esiste una biezione

$ω:mathbb(K)^q ->S$

che associa all'arbitraria q-pla ($ξ_(k_1) ,...,ξ_(k_q) $) la soluzione completa ($ξ_1 ,...,ξ_n $) nel modo sopra indicato.

Questo per arrivare alla definizione della $omega$.

Che verrà poi usata per dimostrare la seconda parte di:

L'insieme $S_0$ delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $AX=0$ a $n$ equazioni ed $m$ incognite è un sottospazio vettoriale di $mathbb(K)^n$ e si ha che: $dimS_0 =n−m$

Utilizzando l'applicazione $ω:mathbb(K)^q →S$, poiché $ω$ è una biezione, $ω$ è un isomorfismo tra $mathbb(K)^q$ e $S_0$ . Quindi $dimS_0 =q=n−m$ .

[ciampax]

Ok, sostanzialmente hai scritto tutto ciò che serve. Ora dimmi punto per punto quali sono i problemi e li analizziamo.