Help algebra lineare
Qualcuno sa come si risolvono questi esercizi?
Siano v e w due vettori non nulli e non paralleli tra loro e sia T : V-> V l’applicazione lineare definita da
T(x) = ((x ^v) · w)w.
R.1) T non ammette autovettori.
R.2) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a w.
R.3) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a v.
R.4) Nessuna delle altre risposte.
R.5) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli complanari con v e w
Siano v e w vettori liberi con w != 0. Sia T : V-> V l’applicazione definita da
T(x) = 2x ^ v + (1-a)w. Allora
R.1) T `e non lineare e non iniettiva per a = 1
R.2) T `e lineare e iniettiva per a = 0
R.3) T `e lineare e non iniettiva per a = 1
R.4) Nessuna delle altre risposte
R.5) T `e lineare e iniettiva per a = 1
So che le risposte giuste sono rispettivamente la 5 e la 3, ma non capisco perché!
Siano v e w due vettori non nulli e non paralleli tra loro e sia T : V-> V l’applicazione lineare definita da
T(x) = ((x ^v) · w)w.
R.1) T non ammette autovettori.
R.2) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a w.
R.3) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli paralleli a v.
R.4) Nessuna delle altre risposte.
R.5) Gli autovettori di T sono solo i vettori non nulli complanari con v e w
Siano v e w vettori liberi con w != 0. Sia T : V-> V l’applicazione definita da
T(x) = 2x ^ v + (1-a)w. Allora
R.1) T `e non lineare e non iniettiva per a = 1
R.2) T `e lineare e iniettiva per a = 0
R.3) T `e lineare e non iniettiva per a = 1
R.4) Nessuna delle altre risposte
R.5) T `e lineare e iniettiva per a = 1
So che le risposte giuste sono rispettivamente la 5 e la 3, ma non capisco perché!
Risposte
È il tuo primo messaggio quindi si è più comprensivi però il forum ha un sistema di inserimento delle formule che aiuta parecchio a trovar qualcuno per farti rispondere. Inoltre è richiesto un tentativo di risoluzione.
La formula \(\displaystyle \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w}) = [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]\) è chiamato prodotto triplo.
Si può verificare che \(\displaystyle [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] = [\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}] = [\mathbf{w},\mathbf{u},\mathbf{v}] \in \mathbb{R}\) (una volta espresso in forma matriciale diventa abbastanza immediato).
La tua \(\displaystyle T(\mathbf{x}) = [\mathbf{w},\mathbf{x},\mathbf{v}]\mathbf{w} = [\mathbf{x},\mathbf{v},\mathbf{w}]\mathbf{w} \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product
http://mathworld.wolfram.com/ScalarTripleProduct.html
A parte questa piccola informazione vediamo il tuo problema. \(\displaystyle \mathbf{x} \) è un autovettore di \(\displaystyle T(\mathbf{x}) \) è non nullo se \(\displaystyle T(\mathbf{x}) = \lambda\mathbf{x}\). D'altra parte \(\displaystyle T(\mathbf{x})\) è parallelo a \(\displaystyle \mathbf{w} \) oppure \(\displaystyle \lambda = 0 \). La risposta giusta è la 5 se e solo se tutti gli autovettori hanno autovalore \(\displaystyle 0 \).
Veniamo però al triple product \(\displaystyle [\mathbf{w},\alpha\mathbf{w} + \beta\mathbf{v},\mathbf{v}] = \alpha[\mathbf{w},\mathbf{w},\mathbf{v}] + \beta[\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{v}] = \alpha\mathbf{w}\cdot(\mathbf{w}\wedge\mathbf{v}) + \beta\mathbf{w}\cdot(\mathbf{v}\wedge\mathbf{v}) = 0\) perché \(\displaystyle \mathbf{w}\wedge\mathbf{v} \) è perpendicolare a \(\displaystyle \mathbf{w} \) e \(\displaystyle \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}=0 \). Si noti che questo dimostra che ogni autovalore parallelo a \(\displaystyle \mathbf{w} \) ha autovalore nullo e che ogni altro punto di quel piano ha autovalore nullo.
Che invece un elemento non di quel piano non sia un autovettore si può provare considerando il vettore \(\displaystyle \mathbf{u} = \mathbf{v}\wedge\mathbf{w} \). Ovviamente il tutto è stato fatto supponendo che i due vettori siano diversi ma la dimostrazione di prima vale in ogni caso.
Ora \(\displaystyle [\mathbf{w},\alpha\mathbf{u},\mathbf{v}] = \alpha\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}) = \alpha\mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = \alpha \neq 0\).
Il resto lo si prova considerando che i tre vettori sono una base dello spazio se i primi due sono distinti.
.......
Riguardo al secondo che sia lineare è banale. Che sia non iniettiva invece ti lascio pensare un po'...
P.S: che metodo strano per mettere gli accenti. Immagino tu non stia usando una tastiera italiana.
La formula \(\displaystyle \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\wedge\mathbf{w}) = [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]\) è chiamato prodotto triplo.
Si può verificare che \(\displaystyle [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] = [\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}] = [\mathbf{w},\mathbf{u},\mathbf{v}] \in \mathbb{R}\) (una volta espresso in forma matriciale diventa abbastanza immediato).
La tua \(\displaystyle T(\mathbf{x}) = [\mathbf{w},\mathbf{x},\mathbf{v}]\mathbf{w} = [\mathbf{x},\mathbf{v},\mathbf{w}]\mathbf{w} \)
http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product
http://mathworld.wolfram.com/ScalarTripleProduct.html
A parte questa piccola informazione vediamo il tuo problema. \(\displaystyle \mathbf{x} \) è un autovettore di \(\displaystyle T(\mathbf{x}) \) è non nullo se \(\displaystyle T(\mathbf{x}) = \lambda\mathbf{x}\). D'altra parte \(\displaystyle T(\mathbf{x})\) è parallelo a \(\displaystyle \mathbf{w} \) oppure \(\displaystyle \lambda = 0 \). La risposta giusta è la 5 se e solo se tutti gli autovettori hanno autovalore \(\displaystyle 0 \).
Veniamo però al triple product \(\displaystyle [\mathbf{w},\alpha\mathbf{w} + \beta\mathbf{v},\mathbf{v}] = \alpha[\mathbf{w},\mathbf{w},\mathbf{v}] + \beta[\mathbf{w},\mathbf{v},\mathbf{v}] = \alpha\mathbf{w}\cdot(\mathbf{w}\wedge\mathbf{v}) + \beta\mathbf{w}\cdot(\mathbf{v}\wedge\mathbf{v}) = 0\) perché \(\displaystyle \mathbf{w}\wedge\mathbf{v} \) è perpendicolare a \(\displaystyle \mathbf{w} \) e \(\displaystyle \mathbf{v}\wedge\mathbf{v}=0 \). Si noti che questo dimostra che ogni autovalore parallelo a \(\displaystyle \mathbf{w} \) ha autovalore nullo e che ogni altro punto di quel piano ha autovalore nullo.
Che invece un elemento non di quel piano non sia un autovettore si può provare considerando il vettore \(\displaystyle \mathbf{u} = \mathbf{v}\wedge\mathbf{w} \). Ovviamente il tutto è stato fatto supponendo che i due vettori siano diversi ma la dimostrazione di prima vale in ogni caso.
Ora \(\displaystyle [\mathbf{w},\alpha\mathbf{u},\mathbf{v}] = \alpha\mathbf{w}\cdot(\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}) = \alpha\mathbf{w}\cdot\mathbf{w} = \alpha \neq 0\).
Il resto lo si prova considerando che i tre vettori sono una base dello spazio se i primi due sono distinti.
.......
Riguardo al secondo che sia lineare è banale. Che sia non iniettiva invece ti lascio pensare un po'...
P.S: che metodo strano per mettere gli accenti. Immagino tu non stia usando una tastiera italiana.
Grazie mille ora ho capito.
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