Half-Disk Topology
Buongiorno a tutti!
Mi scuso per il titolo in inglese ma non saprei bene come rendere in italiano il concetto (topologia del mezzo disco?).
Sto cercando di dimostrare tramite un controesempio che un spazio topologico $T_2$ non necessariamente è $T_3$, dove con $T_3$ intendo regolare e $T_1$.
Il controesempio più gettonato è quello che include la half-disk topology.
In sostanza consideriamo $X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0\}$ e muniamolo della seguente topologia:
$\mathcal{T}=\{A \in \mathcal{T}_e | A \subseteq X\} \cup \{\{(x,0)\} \cup (B_r(x,0) \cap P) | x \in \mathbb{R}\}$,
dove $\mathcal{T}_e$ è la topologia euclidea (quella che ha per base gli intorni aperti $B_r(x,y)$) e $P=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y>0\}$.
Ora, assumendo che $\mathcal{T}$ sia effettivamente una topologia, dimostro facilmente che $(X,\mathcal{T})$ è $T_2$ ma non $T_3$.
Il punto è proprio che non so come mostrare che $\mathcal{T}$ è una topologia.
Ovviamente $X,\emptyset \in \mathcal{T}$ e fin qui ci siamo.
Mi fermo quando tento di dimostrare che una arbitraria unione di insiemi di $\mathcal{T}$ è ancora in $\mathcal{T}$.
Mi scuso per il titolo in inglese ma non saprei bene come rendere in italiano il concetto (topologia del mezzo disco?).
Sto cercando di dimostrare tramite un controesempio che un spazio topologico $T_2$ non necessariamente è $T_3$, dove con $T_3$ intendo regolare e $T_1$.
Il controesempio più gettonato è quello che include la half-disk topology.
In sostanza consideriamo $X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0\}$ e muniamolo della seguente topologia:
$\mathcal{T}=\{A \in \mathcal{T}_e | A \subseteq X\} \cup \{\{(x,0)\} \cup (B_r(x,0) \cap P) | x \in \mathbb{R}\}$,
dove $\mathcal{T}_e$ è la topologia euclidea (quella che ha per base gli intorni aperti $B_r(x,y)$) e $P=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y>0\}$.
Ora, assumendo che $\mathcal{T}$ sia effettivamente una topologia, dimostro facilmente che $(X,\mathcal{T})$ è $T_2$ ma non $T_3$.
Il punto è proprio che non so come mostrare che $\mathcal{T}$ è una topologia.
Ovviamente $X,\emptyset \in \mathcal{T}$ e fin qui ci siamo.
Mi fermo quando tento di dimostrare che una arbitraria unione di insiemi di $\mathcal{T}$ è ancora in $\mathcal{T}$.
Risposte
Azzarderei che quella è la base di una topologia e non una topologia di per se.
Grazie per la risposta.
Guarda su Wikipedia e su "Counterexamples in Topology, Steen, Seebach" la definizione che viene data proprio della topologia (e non di un sua base) è:
$\mathcal{T}=\{A \cap P | A \in \mathcal{T}_e\} \cup \{\{(x,0)\} \cup (A \cap P) | (x,0) \in A \in \mathcal{T}_e\}$.
Guarda su Wikipedia e su "Counterexamples in Topology, Steen, Seebach" la definizione che viene data proprio della topologia (e non di un sua base) è:
$\mathcal{T}=\{A \cap P | A \in \mathcal{T}_e\} \cup \{\{(x,0)\} \cup (A \cap P) | (x,0) \in A \in \mathcal{T}_e\}$.
In entrambi i casi si intende la topologia generata dalla base.
Come dici te non è affatto una topologia.
Come dici te non è affatto una topologia.
Si hai ragione, ho verificato 
.
Se la tratto come base in effetti torna tutto. Il libro è stato vago.
Grazie mille!
.Se la tratto come base in effetti torna tutto. Il libro è stato vago.
Grazie mille!
Grazie si mi interessa.
Anche se ormai ho appena finito di sistemare il mio controesempio e penso di potermi ritenere soddisfatto di come mi è venuto.
Ora passo al prossimo controesempio: devo trovare uno spazio regolare ma non completamente regolare. Spero di riuscirci da solo e/o con l'aiuto di validi manuali.
Anche se ormai ho appena finito di sistemare il mio controesempio e penso di potermi ritenere soddisfatto di come mi è venuto.
Ora passo al prossimo controesempio: devo trovare uno spazio regolare ma non completamente regolare. Spero di riuscirci da solo e/o con l'aiuto di validi manuali.
"Leonardo97":Non credo che tu possa riuscirci da solo... Dai uno sguardo da pag. 20 a pag. 23 di queste mie note (incomplete).
[...] Ora passo al prossimo controesempio: devo trovare uno spazio regolare ma non completamente regolare. Spero di riuscirci da solo e/o con l'aiuto di validi manuali.
P.S.: Stai seguendo Seebach & Steen?
Ho guardato le note al link che mi hai gentilmente dato e mi sembrano molto utili.
Mi sono accorto che la costruzione di uno spazio regolare ma non completamente regolare è (come fra l'altro immaginavo) piuttosto spinosa.
Spulciando tutto ciò che ho trovato online però credo di aver trovato in questo articolo l'esempio più diretto e relativamente semplice: https://www.ams.org/journals/proc/1981-081-04/S0002-9939-1981-0601748-4/S0002-9939-1981-0601748-4.pdf
Mi è anche caduto l'occhio su: https://www.ias.ac.in/article/fulltext/pmsc/102/01/0049-0051 ma tale controesempio (al quale mi sembrano ispirarsi anche le tue note) sebbene molto affascinante lo metterei al secondo posto quanto a immediatezza.
Infine ho controllato anche sul Seebach & Steen, ma la costruzione proposta è la peggiore fra quelle che ho visto, dato che utilizza gli ordinali e da molte cose per scontate.
Anche
, però non mi va proprio giù li suo stile espositivo e dimostrativo, quindi finisco sempre per cercare altrove.
Mi sono accorto che la costruzione di uno spazio regolare ma non completamente regolare è (come fra l'altro immaginavo) piuttosto spinosa.
Spulciando tutto ciò che ho trovato online però credo di aver trovato in questo articolo l'esempio più diretto e relativamente semplice: https://www.ams.org/journals/proc/1981-081-04/S0002-9939-1981-0601748-4/S0002-9939-1981-0601748-4.pdf
Mi è anche caduto l'occhio su: https://www.ias.ac.in/article/fulltext/pmsc/102/01/0049-0051 ma tale controesempio (al quale mi sembrano ispirarsi anche le tue note) sebbene molto affascinante lo metterei al secondo posto quanto a immediatezza.
Infine ho controllato anche sul Seebach & Steen, ma la costruzione proposta è la peggiore fra quelle che ho visto, dato che utilizza gli ordinali e da molte cose per scontate.
"j18eos":
P.S.: Stai seguendo Seebach & Steen?
Anche
, però non mi va proprio giù li suo stile espositivo e dimostrativo, quindi finisco sempre per cercare altrove.
Sono note libere scaricabili dal mio sito, con tutto che sono incomplete (e ferme dal maggio 2018). 
Entrambi gli articoli a cui tu ti riferisci li ho citati in bibliografia, anche se io ho preferito Raha rispetto a Mysor.
Anche a me non piace Seebach & Steen: ti informa dell'esistenza di certe nozioni, ma non sempre è soddisfacente nelle dimostrazioni.
Entrambi gli articoli a cui tu ti riferisci li ho citati in bibliografia, anche se io ho preferito Raha rispetto a Mysor.
Anche a me non piace Seebach & Steen: ti informa dell'esistenza di certe nozioni, ma non sempre è soddisfacente nelle dimostrazioni.
"j18eos":
Entrambi gli articoli a cui tu ti riferisci li ho citati in bibliografia, anche se io ho preferito Raha rispetto a Mysor.
Cosa ti ha colpito di più in Raha? Gusto personale o magari è più chiara la sua dimostrazione? Chiedo perché vorrei davvero ottimizzare le cose
.Grazie per la disponibilità.
A mia opinione: Raha lo vidi più completo di Mysior, e quest'ultimo mi da la sensazione "Questo è troppo lungo da scrivere per bene, fallo tu per me!"... quindi, onde evitare di perderci troppo tempo, studiai Raha! 
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