Gruppo lineare speciale
Salve a tutti,studiando algebra lineare mi sono imbattuto in una questione spinosa da cui non riesco venirne a capo.
Allora il testo dice:"il gruppo lineare speciale è il nucleo dell'omomorfismo che associa ad una applicazione lineare il suo determinante ed è definito tale che il determinante di codesta applicazione lineare=1.
Ora però ricordo che il nucleo di un'applicazione lineare è quell'elemento tale per cui la sua immagine valga 0 e non 1.Qualcuno sa darmi una spiegazione?Grazie mille
Allora il testo dice:"il gruppo lineare speciale è il nucleo dell'omomorfismo che associa ad una applicazione lineare il suo determinante ed è definito tale che il determinante di codesta applicazione lineare=1.
Ora però ricordo che il nucleo di un'applicazione lineare è quell'elemento tale per cui la sua immagine valga 0 e non 1.Qualcuno sa darmi una spiegazione?Grazie mille
Risposte
"Nucleo" di un omomorfismo $f : A \to B$ è la controimmagine dell'elemento neutro di $B$, se c'è. Quale sia questo elemento neutro cambia a seconda della struttura di $B$, e solitamente è il contesto a specificare qual è.
Per i gruppi, solitamente denotati moltiplicativamente, l'elemento neutro si chiama $1$ (e in effetti l'operazione che rende le matrici invertibili un gruppo è il prodotto di matrici, che quindi ha la matrice identità come elemento neutro; e il determinante è un omomorfismo rispetto a questa operazione -si chiama "teorema di Binet")
Tu forse stai pensando alla definizione di nucleo di una funzione $k$-lineare $f : V \to W$ tra $k$-spazi vettoriali $V,W$; in questo secondo caso, \(\ker f\) è l'insieme dei vettori che $f$ manda a zero, perché l'elemento neutro è quello dell'operazione di somma di vettori in $W$.
Per i gruppi, solitamente denotati moltiplicativamente, l'elemento neutro si chiama $1$ (e in effetti l'operazione che rende le matrici invertibili un gruppo è il prodotto di matrici, che quindi ha la matrice identità come elemento neutro; e il determinante è un omomorfismo rispetto a questa operazione -si chiama "teorema di Binet")
Tu forse stai pensando alla definizione di nucleo di una funzione $k$-lineare $f : V \to W$ tra $k$-spazi vettoriali $V,W$; in questo secondo caso, \(\ker f\) è l'insieme dei vettori che $f$ manda a zero, perché l'elemento neutro è quello dell'operazione di somma di vettori in $W$.
[ot]Comunque sono d'accordo che non è la scrittura più felice possibile. Non era più facile scrivere "il gruppo lineare speciale è il gruppo delle matrici con determinante uguale a 1?" 
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Perfetto,grazie millee,pensavo che con elemento neutro si parlasse sempre di 0 ma non davo peso alle diverse strutture del codominio,una cosa però mi sfugge:a cosa ti riferisci quando scrivi"si chiama teorema di Binet"?So cosa dice il teorema ma non riesco a legarlo al ragionamento
Cosa dice il teorema di Binet?
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