Gruppo fondamentale S^2 meno n punti
Buongiorno,
Devo sostenere l'esame di Geometria 2 (abbiamo fatto principalmente topologia e verso la fine un accenno alle varietà differenziabili) ma sto avendo difficoltà con gli esercizi sul gruppo fondamentale. Il libro di riferimento del corso è Topologia di M. Manetti.
Tornando all'esercizio in oggetto, se alla sfera levo un solo punto l'esercizio è banale, S^2 -{p} è isomorfo a R^2 e quindi è contrattile.
I miei problemi iniziano quando se ne levano 2 (immagino che il caso n generico sia semplicemente una generalizzazione di questo), la mia idea sarebbe quella di applicare Van Kampen (supponiamo per semplicità che i punti tolti siano N := polo nord e
S := polo sud). Potrei dividere la sfera in due aperti A e B, con A la semisfera superiore più un pezzo e B quella inferiore più un pezzo. Praticamente (vanno levati i due poli):
Mi riduco così al caso in cui abbiamo A, B e la loro l'intersezione hanno gruppo fondamentale Z. I problemi iniziano ora. Non so di preciso cosa fare se l'intersezione fra i due aperti non è semplicemente connessa. Ho visto che molti qui sul forum usano le presentazioni (che noi non abbiamo fatto) o altri metodi che magari capisco ma non saprei riapplicare. Se qualcuno mi potesse spiegare come procedere in questo caso in esame e in altri analoghi gli sarei immensamente grato.
P.S. mi sono accorto che anche il caso con due punti è banale in quanto la sfera senza i due poli si può retrarre sull'equatore facendola diventare una circonferenza, ma ritengo comunque anche l'idea sopra "giusta", ergo la vera domanda è: cosa fare se l'intersezione degli aperti non è semplicemente connessa?
Devo sostenere l'esame di Geometria 2 (abbiamo fatto principalmente topologia e verso la fine un accenno alle varietà differenziabili) ma sto avendo difficoltà con gli esercizi sul gruppo fondamentale. Il libro di riferimento del corso è Topologia di M. Manetti.
Tornando all'esercizio in oggetto, se alla sfera levo un solo punto l'esercizio è banale, S^2 -{p} è isomorfo a R^2 e quindi è contrattile.
I miei problemi iniziano quando se ne levano 2 (immagino che il caso n generico sia semplicemente una generalizzazione di questo), la mia idea sarebbe quella di applicare Van Kampen (supponiamo per semplicità che i punti tolti siano N := polo nord e
S := polo sud). Potrei dividere la sfera in due aperti A e B, con A la semisfera superiore più un pezzo e B quella inferiore più un pezzo. Praticamente (vanno levati i due poli):
Mi riduco così al caso in cui abbiamo A, B e la loro l'intersezione hanno gruppo fondamentale Z. I problemi iniziano ora. Non so di preciso cosa fare se l'intersezione fra i due aperti non è semplicemente connessa. Ho visto che molti qui sul forum usano le presentazioni (che noi non abbiamo fatto) o altri metodi che magari capisco ma non saprei riapplicare. Se qualcuno mi potesse spiegare come procedere in questo caso in esame e in altri analoghi gli sarei immensamente grato.
P.S. mi sono accorto che anche il caso con due punti è banale in quanto la sfera senza i due poli si può retrarre sull'equatore facendola diventare una circonferenza, ma ritengo comunque anche l'idea sopra "giusta", ergo la vera domanda è: cosa fare se l'intersezione degli aperti non è semplicemente connessa?
Risposte
\(\mathbb{S}^2-\{pt_1,pt_2\}\) è omotòpicamente a \(\mathbb{R}^2\setminus\{pt\}\), il quale è omotòpicamente equivalente a...
"j18eos":
\(\mathbb{S}^2-\{pt_1,pt_2\}\) è omotòpicamente a \(\mathbb{R}^2\setminus\{pt\}\), il quale è omotòpicamente equivalente a...
Si, come detto nel post scriptum il caso di S^2 meno due punti era banale (gruppo fondamentale isomorfo a Z), ma ormai avevo scritto tutto e poiché non era in particolare l'esercizio in sé per sé a turbarmi, ma il procedimento in generale nel caso di intersezione non contrattile, ho deciso di lasciarlo comunque come esempio appunto di quella tipologia di esercizi con cui ho difficoltà.
Se ti è possibile mi potresti dare una sorta di linea guida su come proseguire in casi del genere (sono ancora convinto che risolvendo il caso n=2 come descritto nel post originale possa risolvere anche n generico)?
Scusa per il ritardo con cui ho risposto ma sono iscritto al forum da poco (oggi veramente) e sto litigando un po' con l'interfaccia (mi ero dimenticato di spuntare l'opzione per farmi avvisare di eventuali risposte).
Se $S^2$ meno un punto è omeomorfo a $RR^2$, allora togliere $n>=1$ punti da $S^2$ è come toglierne $n-1$ da un piano, e da qui con Van Kampen si conclude facilmente...
Giustamente. Con il tuo ragionamento (a cui probabilmente sarei dovuto arrivare da solo data la semplicità) si ottiene che il gruppo fondamentale di una sfera meno n punti è quello di R^2 meno m=n-1 punti che si può retrarre ad un bouqet di m circonferenze che ha gruppo fondamentale Z*....*Z m volte (con * il prodotto libero).
Grazie!
Per quanto riguarda il caso in cui l'intersezione tra gli aperti con cui voglio applicare Van Kampen non sia semplicemente connessa? C'è qualche corollario di Van kampen che mi sono perso o qualche altro teorema utile? Perché in quei casi veramente non so cosa fare :/
In ogni modo grazie mille per la disponibilità
Grazie!
Per quanto riguarda il caso in cui l'intersezione tra gli aperti con cui voglio applicare Van Kampen non sia semplicemente connessa? C'è qualche corollario di Van kampen che mi sono perso o qualche altro teorema utile? Perché in quei casi veramente non so cosa fare :/
In ogni modo grazie mille per la disponibilità
Il teorema di Van Kampen non ha bisogno dell'ipotesi di semplice connessione per l'intersezione di due aperti..
"killing_buddha":
Il teorema di Van Kampen non ha bisogno dell'ipotesi di semplice connessione per l'intersezione di due aperti..
Vero, ma se l'intersezione non è semplicemente connessa il gruppo fondamentale dell'unione dei due aperti non è il prodotto libero dei gruppi fondamentali ma un "prodotto amalgamato" che francamente non ho idea di come esprimere concretamente. Ergo la difficoltà di cui sopra :/
E' un [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Free_product#Generalization:_Free_product_with_amalgamation]pushout[/url] nella categoria dei gruppi 
ci sono delle espressioni estremamente esplicite per calcolarlo come un opportuno quoziente del coprodotto (che è esattamente il prodotto libero).
ci sono delle espressioni estremamente esplicite per calcolarlo come un opportuno quoziente del coprodotto (che è esattamente il prodotto libero).
Credo di star iniziando a capire, grazie a tutti ^^
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