[Gruppo Fondamentale] Gruppo fondamentale del toro pieno meno un punto interno

[Gufo90]

Qual'è il gruppo fondamentale di un toro pieno meno un punto interno? (cioè che nn giace sul bordo del toro)

Grazie.

[Pappappero1]

Solo un'idea. Direi che si potrebbe usare il secondo teorema di Van Kampen (quello del "manico") considerando un pezzetto del toro intorno al punto rimosso (che ha lo stesso gruppo fondamentale di una sfera, quindi banale) e il manico fatto dall'altro pezzo di toro (che e' un cilindro pieno, quindi contrattile).
Concludendo, mi verrebbe da dire che il $\Pi_1$ e' $\ZZ$.
Generalizzazione: se si rimuovono $n$ punti?

[Gufo90]

"Pappappero":Solo un'idea. Direi che si potrebbe usare il secondo teorema di Van Kampen (quello del "manico") considerando un pezzetto del toro intorno al punto rimosso (che ha lo stesso gruppo fondamentale di una sfera, quindi banale) e il manico fatto dall'altro pezzo di toro (che e' un cilindro pieno, quindi contrattile).
Concludendo, mi verrebbe da dire che il $\Pi_1$ e' $\ZZ$.
Generalizzazione: se si rimuovono $n$ punti?

Io all'esame di stamattina ho fatto il seguente ragionamento, poi di seguito proporrò quelli di un mio collega che cmq arrivano tutti al medesimo risultato cioè $\ZZ$:

1- Taglio il toro lungo una delle circonferenze verticali e ottengo così un cilindro pieno con le basi identificate meno un punto, retraggo l'interno del cilindro sulle 2 basi ottenendo così un cilindro vuoto con 2 dischi come basi, sempre identificate, reincollo le basi ed ottengo un toro con un disco.
Da qui uso Van Kampen usando la forma quadrata del Toro solo con 2 dischi come "a" invece che 2 circonferenze, poi calcolo il gruppo fondamentale come si fa con il toro classico e, essendo il disco contraibile, ottengo $\ZZ$.

2- Un mio collega parte dal toro col disco e dice che contraendo il disco ottengo una sfera con i punti antipodali identificati che è omeomorfo alla sfera unita ad un cerchio tramite un punto che ha come gruppo fondamentale $\ZZ$

Per la risposta alla tua domanda ti posso solo dire che l'alternativa a questo esercizio era quella di trovare i gruppi di omologia del toro pieno meno 2 punti interni, che era MOLTO più difficile ed infatti valeva più punti xD...

[Pappappero1]

Il primo ragionamento mi torna. Praticamente retrai il toro pieno meno un punto sul toro vuoto con un disco che lo taglia. Il gruppo fondamentale di questo spazio e' chiaramente $\ZZ$ (ad esempio perche' attacchi una $2$-cella non banale al toro, che quindi ti "mangia" uno dei due $\ZZ$ del gruppo fondamentale del toro). La giustificazione con Van Kampen credo vada benissimo.

Nel secondo ragionamento non capisco bene come fa a retrarre il disco: il disco e' attaccato alla parete del toro. Se lo retrai a un punto muovi il toro.


Per risolvere la generalizzazione che ho proposto, puoi usare il mio ragionamento del manico, ottenendo un cilindro pieno con $n$ punti rimossi. Il gruppo fondamentale e' sempre $\ZZ$.

[killing_buddha]

Mi sembra sia giusto che venga \(\mathbb Z\): se $X$ e' il toro pieno meno un punto, $X$ ha come retratto il toro vuoto cui e' stata incollato dentro un disco che ha per bordo la circonferenza di raggio minore (si', il classico problema della topologia algebrica e' sempre far capire le figure senza disegnarle); questo si presta a essere decomposto come un CW complesso, e per un risultato delle prime pagine di Hatcher posso shrinkare a un punto un sottocomplesso contrattile (il disco, in questo caso); quello che ottengo e' omotopicamente equivalente (esercizio simpatico) al join \(S^2\vee S^1\), che ha gruppo fondamentale $\mathbb Z$ (\(\pi_1(S^2\vee S^1)\cong \pi_1 S^2 * \pi_1 S^1\cong\mathbb Z\)). []

[killing_buddha]

se fai un disegno di un esercizio di topologia algebrica dietro la ricevuta di un vecchio ostello, sei un po' drogato, ma va bene cosi':