Gruppo fondamentale di un quoziente di un sottoinsieme di $RR^2$
Consideriamo l'insieme in verde:
e consideriamo la relazione di equivalenza data da due punti sono equivalente se e solo se si trovano entrambi su una delle tre circonferenze di centro $(-1,-1),(1,-1)$ e $(0,0)$ e e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente
Dire se $Y$ è semplicemente connesso.
Direi di no, poichè il gruppo fondamentale dovrebbe essere $ZZ$ o qualche prodotto libero di $ZZ$. Però non so bene come fare, pensavo con qualche retrazione/equivalenza omotopica sulle circonferenze e poi passare questa sul quoziente, ad esempio mantenendo la relazione di equivalenza stabile sulle tre circonferenze (ritraendo una nell'altra ad esempio) però col fatto che ci sono buchi ( e da cui deduco che molto probabilemente $Y$ non sarà semplicemente connesso) non riesco a fare molto, qualcuno mi sa dire? Grazie
e consideriamo la relazione di equivalenza data da due punti sono equivalente se e solo se si trovano entrambi su una delle tre circonferenze di centro $(-1,-1),(1,-1)$ e $(0,0)$ e e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente
Dire se $Y$ è semplicemente connesso.
Direi di no, poichè il gruppo fondamentale dovrebbe essere $ZZ$ o qualche prodotto libero di $ZZ$. Però non so bene come fare, pensavo con qualche retrazione/equivalenza omotopica sulle circonferenze e poi passare questa sul quoziente, ad esempio mantenendo la relazione di equivalenza stabile sulle tre circonferenze (ritraendo una nell'altra ad esempio) però col fatto che ci sono buchi ( e da cui deduco che molto probabilemente $Y$ non sarà semplicemente connesso) non riesco a fare molto, qualcuno mi sa dire? Grazie
Risposte
Non è molto chiaro quali siano le circonferenze in questione.
"megas_archon":
Non è molto chiaro quali siano le circonferenze in questione.
Quelle date da $x^2+y^2=9$, $x^(2)+y^(2)+2 x+2 y=-(7)/(4) $, $x^(2)+y^(2)-2 x+2 y=-(7)/(4) $
Quindi le due in basso e quella esterna. Allora il quoziente è omeomorfo a una sfera meno un punto: è evidente che \(D^2/S^1\cong S^2\), quindi \(D^2\) a cui sono stati tolti tre punti/dischi, ma due dei quali sono stati poi richiusi quozientando il loro bordo, è omeomorfo a \(S^2\) meno un punto, che è un disco (= è contraibile).
"megas_archon":
Quindi le due in basso e quella esterna. Allora il quoziente è omeomorfo a una sfera meno un punto: è evidente che \(D^2/S^1\cong S^2\), quindi \(D^2\) a cui sono stati tolti tre punti/dischi, ma due dei quali sono stati poi richiusi quozientando il loro bordo, è omeomorfo a \(S^2\) meno un punto, che è un disco (= è contraibile).
Non mi è chiaro perchè equivale i punti ai dischi, e poi quozientando i due che si richiudono il bordo ho capito l'idea ma come la scriveresti se dovessi farlo formalmente?
beh, c'è un ovvia equivalenza omotopica tra \(S^2\setminus\{p\}\) e \(S^2\setminus B_\epsilon\) dove \(B_\epsilon\) è un disco di centro un punto della sfera, e raggio \(0<\epsilon\ll 1\).
Nel caso riscrivo completo il testo:
Sia $XsubeRR^2$ il luogo dato dalle soluzioni delle seguenti disequazioni:
$x^2+y^2<=9,x^2+y^2-2x+2y>=-7/4,x^2+y^2+2x+2y>=-7/4,x^2+y^2-2y>=0$ munito della topologia euclidea. Sia $∼$ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2=9=x_2^2+y_2^2$
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2+2x_1+2y_1=-7/4=x_2^2+y_2^2+2x_2+2y_2$
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2-2x_1+2y_1=-7/4=x_2^2+y_2^2-2x_2+2y_2$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività.
Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente.
Sia $XsubeRR^2$ il luogo dato dalle soluzioni delle seguenti disequazioni:
$x^2+y^2<=9,x^2+y^2-2x+2y>=-7/4,x^2+y^2+2x+2y>=-7/4,x^2+y^2-2y>=0$ munito della topologia euclidea. Sia $∼$ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2=9=x_2^2+y_2^2$
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2+2x_1+2y_1=-7/4=x_2^2+y_2^2+2x_2+2y_2$
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $x_1^2+y_1^2-2x_1+2y_1=-7/4=x_2^2+y_2^2-2x_2+2y_2$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività.
Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente.
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