Gruppo fondamentale di un piano proiettivo con due punti identificati
Buongiorno,
ho un esercizio da proporre che mi sta dando un po' di problemi.
Il testo dice: sia X lo spazio topologico ottenuto dal piano proiettivo reale identificando due punti.
Calcolare il gruppo fondamentale di X e dire se X è omeomorfo ad una superficie topologica orientabile.
Non riesco ad immaginare cosa accade al piano proiettivo reale quando si identificano due punti.
Credo di aver problemi appunti con l'identificazione di punti, perché anche in un altro esercizio in cui viene chiesto di calcolare il gruppo fondamentale di una sfera con 3 punti identificati non so come comportarmi.
Sareste così gentili da aiutarmi? Grazie in anticipo
ho un esercizio da proporre che mi sta dando un po' di problemi.
Il testo dice: sia X lo spazio topologico ottenuto dal piano proiettivo reale identificando due punti.
Calcolare il gruppo fondamentale di X e dire se X è omeomorfo ad una superficie topologica orientabile.
Non riesco ad immaginare cosa accade al piano proiettivo reale quando si identificano due punti.
Credo di aver problemi appunti con l'identificazione di punti, perché anche in un altro esercizio in cui viene chiesto di calcolare il gruppo fondamentale di una sfera con 3 punti identificati non so come comportarmi.
Sareste così gentili da aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
I gruppi di omotopia di \(\mathbb{RP}^2/\{X,Y\}\) sono gli stessi di \(\mathbb{RP}^2\) a cui hai aggiunto una 1-cella che connette $X$ e $Y$; questo perché se chiami \(\widetilde{\mathbb{RP}}^2\) il secondo spazio, la mappa \(q : \widetilde{\mathbb{RP}}^2 \to \mathbb{RP}^2/\{X,Y\}\) è un'equivalenza omotopica.
Ci riesci? A quel punto devi usare Van Kampen; prova a capire se esiste un CW-complesso $A$ tale che \(\mathbb{RP}^2 \simeq \mathbb{RP}^2\vee A\), e a questo punto usa il fatto che \(\pi_1(A\vee B)\cong \pi_1(A)\ast\pi_1(B)\) (questo iso segue da Van Kampen, ma quando sai dimostrarlo puoi usarlo a man bassa).
Meta-hint: tutti gli esercizi di topologia algebrica sul trovare il $\pi_1$ di uno spazio si risolvono con Van Kampen.
Meta-hint: tutti gli esercizi di topologia algebrica sul trovare il $\pi_1$ di uno spazio si risolvono con Van Kampen.
Credo che il mio problema sia che non capisco se i punti X ed Y devo prenderli sul bordo del piano proiettivo, all'interlo del disco oppure se la cosa è indifferente.
Se prendo i due punti sul bordo (cioè identifico due punti antipodali) ottengo un segmento che posso chiamare A; quindi lo spazio topologico X è omotopicamente equivalente al piano proiettivo unito al segmento A.
Potrei adesso contrarre ad un punto il segmento ottenendo così uno spazio topologico omotopicamente equivalente ad un bouquet di due sfere. Il gruppo fondamentale di X è quindi banale.
Così potrebbe andare?
Mi scuso per il ritardo nella risposta, ma sto ancora cercando di capire come funziona il sito.
Grazie ancora per l'aiuto!
Se prendo i due punti sul bordo (cioè identifico due punti antipodali) ottengo un segmento che posso chiamare A; quindi lo spazio topologico X è omotopicamente equivalente al piano proiettivo unito al segmento A.
Potrei adesso contrarre ad un punto il segmento ottenendo così uno spazio topologico omotopicamente equivalente ad un bouquet di due sfere. Il gruppo fondamentale di X è quindi banale.
Così potrebbe andare?
Mi scuso per il ritardo nella risposta, ma sto ancora cercando di capire come funziona il sito.
Grazie ancora per l'aiuto!
Puoi fare di meglio, guarda:
1. \(A/\{x,y\}\) risulta dall'avere identificato ad un singolo punto il sottospazio $\{x,y\}\subseteq A$;
2. utilizziamo il risultato intermedio che \(A/\{x,y\}\) è omotopicamente equivalente allo spazio \(A^+\) ottenuto incollando un segmento $[0,1]$ ad $A$ agli estremi $x,y$ (chiaramente questo passo intermedio è necessario solo se non si ha già $x=y$); ciò è motivato dal risultato di Hatcher che ho già citato.
3. $A vv S^1$ è la somma wedge di $A$ e di una copia della circonferenza $S^1$.
4. scegliamo una volta per tutte un cammino $\gamma : x\to y$ in $A$ (qui serve l'ipotesi che $A$ sia connesso per archi).
Dobbiamo quindi dimostrare l'esistenza di una equivalenza omotopica \(A\lor S^1\simeq A^+\).
Da un lato, c'è un'ovvia mappa \(q : A^+ \to A\lor S^1\) ottenuta quozientando $A$ rispetto a $\gamma$, ovvero identificando ad un punto la sua immagine; dall'altro definiamo una mappa \(t : A\lor S^1 \to A^+\) ponendo che essia si spezzi come l'inclusione \(A\subseteq A^+\) nella componente in $A$ e come il cammino \(S^1\to A^+\) che risulta dalla giunzione di $\gamma$ e del cammino che percorre il segmento $y\to x$. Chiaramente queste sono mappe continue, e un gioco piuttosto elementare trovare le omotopie per cui \(qt\simeq 1, tq\simeq 1\).
Ovviamente, una volta che hai dimostrato che l'immagine di $\gamma$ è uno sottospazio contraibile, basta applicare due volte il risultato di Hatcher per avere la tesi; questa è una via di dimostrazione piu diretta e alternativa, ma volevo essere esplicito.
Alla fine, se \(A=\mathbb{RP}^2\), questo lemmino ti dice che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2/\{x,y\})\cong \pi_1(\mathbb{RP}^2\lor S^1)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}\).
se $A$ è un CW complesso connesso per archi, dati due suoi punti $x,y\in A$ esiste un'equivalenza omotopica \(A/\{x,y\}\simeq A\lor S^1\)dove
1. \(A/\{x,y\}\) risulta dall'avere identificato ad un singolo punto il sottospazio $\{x,y\}\subseteq A$;
2. utilizziamo il risultato intermedio che \(A/\{x,y\}\) è omotopicamente equivalente allo spazio \(A^+\) ottenuto incollando un segmento $[0,1]$ ad $A$ agli estremi $x,y$ (chiaramente questo passo intermedio è necessario solo se non si ha già $x=y$); ciò è motivato dal risultato di Hatcher che ho già citato.
3. $A vv S^1$ è la somma wedge di $A$ e di una copia della circonferenza $S^1$.
4. scegliamo una volta per tutte un cammino $\gamma : x\to y$ in $A$ (qui serve l'ipotesi che $A$ sia connesso per archi).
Dobbiamo quindi dimostrare l'esistenza di una equivalenza omotopica \(A\lor S^1\simeq A^+\).
Da un lato, c'è un'ovvia mappa \(q : A^+ \to A\lor S^1\) ottenuta quozientando $A$ rispetto a $\gamma$, ovvero identificando ad un punto la sua immagine; dall'altro definiamo una mappa \(t : A\lor S^1 \to A^+\) ponendo che essia si spezzi come l'inclusione \(A\subseteq A^+\) nella componente in $A$ e come il cammino \(S^1\to A^+\) che risulta dalla giunzione di $\gamma$ e del cammino che percorre il segmento $y\to x$. Chiaramente queste sono mappe continue, e un gioco piuttosto elementare trovare le omotopie per cui \(qt\simeq 1, tq\simeq 1\).
Ovviamente, una volta che hai dimostrato che l'immagine di $\gamma$ è uno sottospazio contraibile, basta applicare due volte il risultato di Hatcher per avere la tesi; questa è una via di dimostrazione piu diretta e alternativa, ma volevo essere esplicito.
Alla fine, se \(A=\mathbb{RP}^2\), questo lemmino ti dice che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2/\{x,y\})\cong \pi_1(\mathbb{RP}^2\lor S^1)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ast \mathbb{Z}\).
Ok penso di aver capito abbastanza. Posso quindi dire che lo spazio topologico ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti x e y è omotopicamente equivalente all'unione ad un punto di $ A $ e una circonferenza poichè $ \gamma $ è omeomorfa ad una circonferenza in $ A $? Nella mia risposta precedente sbagliavo perché pensavo che lo spazio topologico ottenuto contraendo il segmento $ \gamma $ ad un punto e lo spazio ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti fossero omotopicamente equivalenti.
A quale risultato ti riferisci?
Allora in questo caso devo ragionare allo stesso modo unendo i tre punti (li considero distinti) a due a due con un segmento, giusto?
Grazie ancora per l'aiuto! ☺
"killing_buddha":
ciò è motivato dal risultato di Hatcher che ho già citato.
A quale risultato ti riferisci?
"Ele19":
in un altro esercizio in cui viene chiesto di calcolare il gruppo fondamentale di una sfera con 3 punti identificati non so come comportarmi.
Allora in questo caso devo ragionare allo stesso modo unendo i tre punti (li considero distinti) a due a due con un segmento, giusto?
Grazie ancora per l'aiuto! ☺
"Ele19":
Ok penso di aver capito abbastanza. Posso quindi dire che lo spazio topologico ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti x e y è omotopicamente equivalente all'unione ad un punto di $ A $ e una circonferenza poichè $ \gamma $ è omeomorfa ad una circonferenza in $ A $? Nella mia risposta precedente sbagliavo perché pensavo che lo spazio topologico ottenuto contraendo il segmento $ \gamma $ ad un punto e lo spazio ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti fossero omotopicamente equivalenti.
Ma non è sbagliato, anzi, è esattamente ciò che ti serve e che stai usando.
"killing_buddha":
ciò è motivato dal risultato di Hatcher che ho già citato.
A quale risultato ti riferisci?
Dato un CW complesso $X$ e un sottocomplesso $A\subseteq X$ che è contrattile, la mappa quoziente $X\to X/A$ è un'equivalenza omotopica.
Hmmm, con 3 punti non so come comportarmi così a mente. Ci penso. Se hai idee postale, ma penso sia un esercizio della stessa difficoltà!"Ele19":
in un altro esercizio in cui viene chiesto di calcolare il gruppo fondamentale di una sfera con 3 punti identificati non so come comportarmi.
Allora in questo caso devo ragionare allo stesso modo unendo i tre punti (li considero distinti) a due a due con un segmento, giusto?
"killing_buddha":
[quote="Ele19"]Ok penso di aver capito abbastanza. Posso quindi dire che lo spazio topologico ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti x e y è omotopicamente equivalente all'unione ad un punto di $ A $ e una circonferenza poichè $ \gamma $ è omeomorfa ad una circonferenza in $ A $? Nella mia risposta precedente sbagliavo perché pensavo che lo spazio topologico ottenuto contraendo il segmento $ \gamma $ ad un punto e lo spazio ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti fossero omotopicamente equivalenti.
Ma non è sbagliato, anzi, è esattamente ciò che ti serve e che stai usando.[/quote]
Ma se due spazi topologici hanno gruppo fondamentale diverso non sono omotopicamente equivalenti, giusto?
Lo spazio topologico ottenuto contraendo il segmento $ \gamma $ ad un punto ha gruppo fondamentale banale $<\emptyset|\emptyset>$, poichè è omotopicamente equivalente all'unione ad un punto di due sfere; mentre lo spazio topologico ottenuto incollando ad $ A $ il segmento che unisce i due punti $x$ ed $y$ è omotopicamente equivalente all'unione ad un punto di $ A$ ed una circonferenza, quindi il suo gruppo fondamentale è sicuramente diverso da quello banale per
"killing_buddha":
$π_1(A∨B)≅π_1(A)∗π_1(B)$
Nel caso in cui A=$\mathbb{RP}^{2}$, il gruppo fondamentale è
"killing_buddha":
$π_1(\mathbb{RP}^{2}∨S^{1})≅Z/2Z∗Z.$
"killing_buddha":
Hmmm, con 3 punti non so come comportarmi così a mente. Ci penso. Se hai idee postale, ma penso sia un esercizio della stessa difficoltà!
Ci proverò. In realtà l'esercizio chiede di calcolare il gruppo fondamentale di una sfera $ S^{2}$ con n punti distinti identificati, iniziando con $n=3$. Immagino che si possa fare per induzione una volta capito il caso $n=3$.
Basandomi su questa affermazione
"killing_buddha":
se $A$ è un CW complesso connesso per archi, dati due suoi punti $x,y∈A$ esiste un'equivalenza omotopica $A/\{x,y\}≃A∨S^{1}$
Potrei considerare innanzitutto lo spazio ottenuto identificando due punti distinti $x$ ed $y$ di una sfera $ S^{2}$. Esso è omotopicamente equivalente a $S^{2} \vee S^{1}$ (che chiamo $Y$).
Ora considero lo spazio ottenuto identificando due punti distinti $z$ ed $x$ dello spazio Y. Esso è omotopicamente equivalente a $S^{2} \vee S^{1} \vee S^{1}$ (che chiamo $Z$).
Lo spazio topologico $Z$ è quello che volevo ottenere ed ha gruppo fondamentale $\mathbb{Z}\ast \mathbb{Z}$.
Oppure potrei unire i tre punti distinti della sfera con 2 segmenti (tra $x$ e$ y$ e tra $x$ e $z$). Si tratta di un bouquet di 2 circonferenze; perciò lo spazio topologico ottenuto identificando 3 punti distinti di una sfera è omotopicamente equivalente a $S^{2} \vee S^{1} \vee S^{1}$.
Potrebbe andare come ragionamento?
Ciò che sbagli è che $\gamma$ è una circonferenza; non lo è: ad essere un cammino chiuso è la giunzione di $\gamma$ e del cammino "esterno" ad $A$ che unisce $x,y$. Sarebbe bello parlare di queste cose con un disegno, ma ora non posso farne uno...
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