Gruppo fondamentale di un insieme
Allora devo calcolare il gruppo fondamentale di alcuni insiemi e trovare quali sono tra loro omeomorfi:
$A={zinCC : 1<|z|<2}$
$A/ZZ_2$
$S^1XRR$
$P^2(RR)$
Allora corregetemi perchè molto probabilmente sbaglio
$pi_1(A)=ZZ$
$pi_1(A/ZZ_2=?)$
$pi_1(S^1XRR)=ZZ$
$pi_1(P^2(RR))=ZZ_2$
Allora per quanto riguarda la corona circolare ho pensato che la circonferenza fosse un retratto di deformazione forte...per questo ho pensato che ha lo stesso gruppo fondamentale.... ma questo non mi permette di trovare il gruppo fondamentale del quoziente...è anche vero che $ZZ_2$ agisce tramite azione propriamente discontinua ma rimane il fatto che A non è semplicemente connesso...
$A={zinCC : 1<|z|<2}$
$A/ZZ_2$
$S^1XRR$
$P^2(RR)$
Allora corregetemi perchè molto probabilmente sbaglio
$pi_1(A)=ZZ$
$pi_1(A/ZZ_2=?)$
$pi_1(S^1XRR)=ZZ$
$pi_1(P^2(RR))=ZZ_2$
Allora per quanto riguarda la corona circolare ho pensato che la circonferenza fosse un retratto di deformazione forte...per questo ho pensato che ha lo stesso gruppo fondamentale.... ma questo non mi permette di trovare il gruppo fondamentale del quoziente...è anche vero che $ZZ_2$ agisce tramite azione propriamente discontinua ma rimane il fatto che A non è semplicemente connesso...
Risposte
Se non sbaglio il secondo è omotopo al piano proiettivo... o beh, sarebbe $S^1//ZZ_2\times [1,2]//ZZ_2$ dove [1,2] è uno spazio semplicemente connesso...
Scusa ma $A=S^1x(0,1)$, Puoi chiarire bene la relazione 
Grazie.
Grazie.
Sì anche io sono dell'idea che il secondo sia omotopo al piano proiettivo unidimensionale $P^1(RR)$, ed in quanto esso è omeomorfo a $S^1$, il suo gruppo fondamentale è $ZZ$.
Una valida motivazione potrebbe essere il fatto che essenzialmente l'insieme $A$ è omotopicamente equivalente a $S^1$, e chiaramente il rapporto $S^1//ZZ_2$ è il piano proiettivo.
Una valida motivazione potrebbe essere il fatto che essenzialmente l'insieme $A$ è omotopicamente equivalente a $S^1$, e chiaramente il rapporto $S^1//ZZ_2$ è il piano proiettivo.
Allora perchè la mia incertezza dipende dalla seguente relazione:
Posto $A=S^1x[1/2,2]$ allora $pi_1(A/ZZ_2)=pi_1((S^1x[1/2,2])/ZZ_2)$=$pi_1(S^1/ZZ_2)xpi_1( [[1/2,2]] /ZZ_2)$...
il che non mi è chiarissimo...se fosse vero verrebbe $ZZxZZ_2$...........
Aspetto chiarimenti;)
GRazie
Posto $A=S^1x[1/2,2]$ allora $pi_1(A/ZZ_2)=pi_1((S^1x[1/2,2])/ZZ_2)$=$pi_1(S^1/ZZ_2)xpi_1( [[1/2,2]] /ZZ_2)$...
il che non mi è chiarissimo...se fosse vero verrebbe $ZZxZZ_2$...........
Aspetto chiarimenti;)
GRazie
Adesso forse dirò una cavolata, ma secondo me il secondo quoziente è omeomorfo ad un intervallo, e quindi il suo gruppo fondamentale è banale.
Pat87 non credo perchè $pi_1(X/G)=G$ se X è semplicemente connesso infatti $pi_1(R/Z)=Z$ per questo...l'unica ipotesi che posso avanzare a questo punto, correggetemi se sbaglio è questo...
Se $X$ è omotopo a $Y$ allora $X/G$ è omotopo a $Y/G$. Questa chiarirebbe tutto...ma si dovrebbe dimostrare.......
Se $X$ è omotopo a $Y$ allora $X/G$ è omotopo a $Y/G$. Questa chiarirebbe tutto...ma si dovrebbe dimostrare.......
Mmmh...sei sicuro che vale per ogni insieme $X$ (semplicemente connesso)? Da Wikipedia leggo che vale per i gruppi di Lie (compatti o che soddisfano altre proprietà), e un intervallo chiuso non è un gruppo di Lie. Guarda qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group
sotto la voce universal covering space.
In ogni caso mi sembra anche difficile che non sia banale il gruppo fondamentale. Cosa significa prendere $RR//ZZ_2$? Significa prendere $RR$ ed identificare in un unica classe di equivalenza tutti i punti $+//- p$, ovvero, un insieme di rappresentanti è dato dal semiintervallo $[0, \infty)$. Si intuisce che ogni curva chiusa è sempre omotopa ad un punto perché anche se va nei negativi, la relazione di equivalenza la riporta nei positivi.
Correggietemi se dico scemate
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_group
sotto la voce universal covering space.
In ogni caso mi sembra anche difficile che non sia banale il gruppo fondamentale. Cosa significa prendere $RR//ZZ_2$? Significa prendere $RR$ ed identificare in un unica classe di equivalenza tutti i punti $+//- p$, ovvero, un insieme di rappresentanti è dato dal semiintervallo $[0, \infty)$. Si intuisce che ogni curva chiusa è sempre omotopa ad un punto perché anche se va nei negativi, la relazione di equivalenza la riporta nei positivi.
Correggietemi se dico scemate
Guarda il Kosniowski p.176 corollario 19.4 sul Sernesi non c'è.
Il tuo ragionamento non l'ho capito da quando affermi che una classe è costituita dal semi intervallo...
Per quanto riguarda l'esercizio dici che va bene questa relazione?
Se X è omotopo a Y allora X/G è omotopo a Y/G?
sul Sernesi non c'è.Il tuo ragionamento non l'ho capito da quando affermi che una classe è costituita dal semi intervallo...
Per quanto riguarda l'esercizio dici che va bene questa relazione?
Se X è omotopo a Y allora X/G è omotopo a Y/G?
No, dico che un insieme di rappresentanti è $[0, \infty)$, in quanto
$RR = \bigcup_{p in [0, \infty)}
$RR = \bigcup_{p in [0, \infty)}
$,
dove $
= {+//- p}$.
Come ad esempio $[0,1)$ è un insieme di rappresentanti per l'azione di $ZZ$ in $RR$. In questo ultimo caso considerare $RR//ZZ$ è come considerare di identificare i punti $0$ e $1$ nell'intervallo $[0,1]$, ottenendo così una circonferenza. Mentre in $RR//ZZ_2$ identifico tutti i punti negativi con quelli positivi ed ottengo un insieme omeomorfo alla semiretta positiva. Ma il mio è un ragionamento intuitivo buttato là così.
Se un teorema dice così allora mi arrendo 
Allora credo che la pecca sia in questo passaggio che non puoi fare così alla leggera:
$pi_1(S^1 times [1/2,2]//ZZ_2) = pi_1 (S^1//ZZ_2) times pi_1 ([1/2,2]//ZZ_2)$
Infatti sarei più convinto del fatto che vale che se $X$ è omotopo a $Y$ allora $X//G$ è omotopo a $Y//G$. Però non ne sono affatto sicuro.
Ora l'ho visto sono un pò tarda Per l'omotopia che passa al quoziente forse si può dedurre dalle proprietà del quoziente unito al fatto che funziona con gli omeomorfismi unito al fatto che l'omotopia è una relazione di equivalenza;)....... di più non so...
Grazie sei stato davvero disponibile;)
sono un pò tarda Per l'omotopia che passa al quoziente forse si può dedurre dalle proprietà del quoziente unito al fatto che funziona con gli omeomorfismi unito al fatto che l'omotopia è una relazione di equivalenza;)....... di più non so...Grazie sei stato davvero disponibile;)
"vict85":
Se non sbaglio il secondo è omotopo al piano proiettivo
secondo me potrebbe essere omotopo al piano proiettivo meno un punto, per avere tutto il piano proiettivo avresti bisogno di tutto il disco e non solo la corona.
se fosse vero il gruppo fondamentale potrebbe essere $
"squalllionheart":
X è omotopo a Y allora X/G è omotopo a Y/G
forse serve una proprietà del genere: se $H:X->Y$ e $F:Y->X$ sono le funzioni che determinano l'omotopia deve valere $F(gy)=gF(y)\ AA y in Y \ AA g in G$ e analogo per H
"rubik":
[quote="vict85"]Se non sbaglio il secondo è omotopo al piano proiettivo
secondo me potrebbe essere omotopo al piano proiettivo meno un punto, per avere tutto il piano proiettivo avresti bisogno di tutto il disco e non solo la corona.
[/quote]
Secondo me invece se non sparo una super cavolata... non è il piano proiettivo ma la retta proiettiva reale perchè la corona è omotopa alla circonferenza e $S^1/ZZ_2"$ è proprio la retta proiettiva, ora $P(RR)$ ha lo stesso gruppo fondamentale di $S^1$ che è $ZZ$
"squalllionheart":
[quote="rubik"][quote="vict85"]Se non sbaglio il secondo è omotopo al piano proiettivo
secondo me potrebbe essere omotopo al piano proiettivo meno un punto, per avere tutto il piano proiettivo avresti bisogno di tutto il disco e non solo la corona.
[/quote]
Secondo me invece se non sparo una super cavolata... non è il piano proiettivo ma la retta proiettiva reale perchè la corona è omotopa alla circonferenza e $S^1/ZZ_2"$ è proprio la retta proiettiva, ora $P(RR)$ ha lo stesso gruppo fondamentale di $S^1$ che è $ZZ$[/quote]
mi sono alzato con l'impressione di aver sparato una cavolata
probabilmente hai ragione
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