Gruppo fondamentale di \(\mathbb{S}^{1}\)

[5mrkv]

Il problema è la parte in corsivo. Vedo che \(\tilde{f}_{0}*\tilde{f}_{2}\) è un sollevamento di \(f_{0}*f_{1}\). Essendo il sollevamento unico allora non può che essere quello e quindi siamo a posto? Il libro fa notare anche che \(\tilde{f}_{2}\) è un sollevamento di \(f_{1}\) ma non vedo a cosa mi possa servire.

L'applicazione rivestimento è \(p(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{S}^{1}\) definita come \(p(x)=(\cos 2\pi x,\sin 2\pi x)\). Scelto \(0 \in \mathbb{R}\) ho \(p(0)=(1,0)\) e \(p^{-1}(1,0)=\mathbb{Z}\) quindi è definita la corrispondenza di sollevameto \(\varphi:\pi_{1}(Y,0)\rightarrow\mathbb{Z}\). Dati \([f_{0}],[f_{1}]\in \pi_{1}(Y,0)\) con i loro sollevamenti \(\tilde{f_{0}},\tilde{f_{1}}\) che iniziano in \(0\) e finiscono rispettivamente in \(n,m\in \mathbb{Z}\) (ho scelto l'estremo finale in modo arbitrario) definendo \(\tilde{f_{2}}=n+\tilde{f_{1}}\) con estremi \(n,n+m\in\mathbb{Z}\) si ha \(\tilde{f}_{0}*\tilde{f}_{2}\) con estremi \(0,n+m \in \mathbb{Z}\)
\[
\begin{split}
\varphi([f_{0}]*[f_{1}])
&=\varphi([f_{0}*f_{1}]) \\
&=(\tilde{f}_{0}*\tilde{f}_{2})(1) \\
&=...
\end{split}
\]

[5mrkv]

Mi sa che ci sono. Dato che \(f_{0}=p\circ \tilde{f}_{0}\) e \(f_{1}=p\circ \tilde{f}_{1}\) allora
\[
\begin{split}
f_{0}*f_{1}
&=p\circ \tilde{f}_{0}*p\circ \tilde{f}_{1} \\
&=p\circ \tilde{f}_{0}*p\circ \tilde{f}_{2} \\
&=p\circ(\tilde{f}_{0}*\tilde{f}_{2}) \\
\end{split}
\]

*\(\pi_{1}(\mathbb{S}^{1},(1,0))\) nel primo post.

La dimostrazione dell'omomorfismo dell'inversa \(\varphi^{-1}\) non è mostrata nel libro ma dovrebbe essere questa: Dato che \(\mathbb{R}\) è semplicemente connesso è definita l'applicazione \(\varphi^{-1}:\mathbb{Z}\rightarrow \pi_{1}(S^{1},(1,0))\).
\[
\begin{split}
\varphi^{-1}(n)*\varphi^{-1}(m)
&=\varphi^{-1}(\tilde{f}_{0}(1))*\varphi^{-1}(\tilde{f}_{1}(1)) \\
&=[f_{0}]*[f_{1}] \\
&=[f_{0}*f_{1}] \\
&=\varphi^{-1}([(\tilde{f}_{0}*\tilde{f}_{2})(1)]) \\
&=\varphi^{-1}(n+m)
\end{split}
\]