Gruppo fondamentale di $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
Dovrebbe essere vero che ogni convesso in uno spazio vettoriale topologico è contraibile, in particolare semplicemente connesso, prova a dimostrarlo.
Risposte
Cosa si sa dei gruppi fondamentali di spazi di funzioni?
Pressoché tutto: gli spazi vettoriali a base reale sono tutti contraibili, perché stellati rispetto allo zero (la mappa costante in zero è omotopa all'identità mediante la contrazione \((t,v)\mapsto tv\)).
Se però si riesce a mostrare che hanno gruppo fondamentale banale allora mi verrà naturale provare a bucarli e vedere che succede
Non succede granché: lo spazio vettoriale di cui prima, meno un punto, retrae per deformazione alla sfera unitaria; in dimensione finita, hai $S^{\dim V}$, e in dimensione infinita, dipende; se questa dimensione è numerabile, la sfera $S^\infty$ è contraibile (è facile dimostrarlo, usa una opportuna mappa che shifta le coordinate per retrarre $S^\infty$ a $e_1$).
Ah, un'altra cosa:
No, vale per prodotti arbitrari; ma nella categoria degli spazi topologici, non in quella degli spazi vettoriali.
Esiste un teorema sul gruppo fondamentale di spazi prodotto ma vale per prodotti finiti.
No, vale per prodotti arbitrari; ma nella categoria degli spazi topologici, non in quella degli spazi vettoriali.
Cioè? Il gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici è (isomorfo a) il prodotto (diretto) dei gruppi fondamentali degli spazi?
Verosimilmente la dimostrazione del caso di prodotti finiti la adatti bene a tutti i prodotti.
"arnett":
nei libri che ho consultato ho sempre trovato solo la versione per prodotti finiti e ho dato per scontato valesse solo per quelli. Sai dirmi dove si trova una dimostrazione?
Ti giro la domanda: nella dimostrazione che sta nei libri, dove si usa l'ipotesi di finitezza? In nessun luogo, esatto.
Un'altra osservazione che è possibile fare è che laddove il problema di stabilire quale sia il tipo di omotopia di uno spazio lineare è banale, quello di stabilire quale sia il tipo di omotopia di uno spazio di funzioni continue (che è molto piu grosso) è tutto tranne che risolto: https://arxiv.org/abs/1009.0804
"fmnq":
Un'altra osservazione che è possibile fare è che laddove il problema di stabilire quale sia il tipo di omotopia di uno spazio lineare è banale, quello di stabilire quale sia il tipo di omotopia di uno spazio di funzioni continue (che è molto piu grosso) è tutto tranne che risolto: https://arxiv.org/abs/1009.0804
Anche perché se si sapessero calcolare si saprebbero calcolare anche i gruppi di omotopia di ordine superiore, cosa notoriamente difficile.
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