Gruppo fondamentale del quoziente \(\mathbb S^1/Z_k\)

[killing_buddha]

Sia \(k\ge 2\) e considerate il sottogruppo $Z_k$ delle radici $k$-esime dell'unita' in $U(1)=\mathbb S^1\subseteq\mathbb C$ (la circonferenza, riguardata come il gruppo dei numeri complessi di modulo 1 e la topologia di sottospazio che la rende un gruppo topologico); calcolate il gruppo fondamentale del quoziente \(\mathbb S^1/Z_k\).

[otta96]

Direi che $f:S^1->S^1, f(x)=x^k$ è una funzione continua (fondamentalmente perché $S^1$ è un gruppo topologico), suriettiva e chiusa perché il dominio è compatto e il codominio è $T_2$, l'unica cosa che gli manca per essere un omeomorfismo è l'iniettività che la si guadagna passando al quoziente (e non perdiamo niente di quello che avevamo già), che è proprio $S^1/Z_k$, quindi $pi_1(S^1/Z_k)=pi_1(S^1)=Z$.
Va bene?

[killing_buddha]

Yay, mi sembra giusto! Inizialmente ero convinto che venisse $ZZ_k$ perché ero convinto che venisse \(\text{Ext}^1(\mathbb Z_k,\mathbb Z)\), ma evidentemente sbagliavo.

Quel che è vero è che deve venire un elemento di \(\text{Ext}^1(\mathbb Z_k,\mathbb Z)\).

[otta96]

"killing_buddha": ero convinto che venisse \(\text{Ext}^1(\mathbb Z_k,\mathbb Z)\)

Cos'è?

[killing_buddha]

http://sierra.nmsu.edu/morandi/oldwebpa ... 02/Ext.pdf