Gruppo fondamentale

[picchi]

ciao, devo calcolare il gruppo fondamentale di $RR^3 $\{cilindro}

Allora, riporto ciò che ho pensato. Sia X lo spazio di cui prima; tale spazio non è connesso per archi, per cui posso considerare le due componenti connesse: lo spazio $ RR^3 $ e il cilindro. Dello spazio $ RR^3 $ posso dire che essendo semplicemente connesso, ha gruppo fondamentale uguale a 0; mentre il cilindro ha gruppo fondamentale uguale a $ ZZ $ .

Giusto?

Avete altre idee da propormi? grazie!

[Pappappero1]

Tecnicamente $\RR ^3 \setminusC$, intendendo con $C$ il cilindro come superficie (ad esempio la rigata di rotazione di una retta), non è connesso per archi.

Quindi i casi sono due: o l'esercizio chiede di considerare il cilindro "pieno" (togliendo dunque un intera colonna da $\RR^3$) oppure chiede di considerare un tronco di cilindro (anche in questo caso bisogna specificare se pieno o vuoto, anche se nel primo caso l'esercizio sarebbe facile facile).

Nel caso della colonna piena ti consiglio di pensare a una retrazione che porti tutto lo spazio su una superficie cilindrica.

Nel secondo caso immagino si debbano sfruttare i teoremi di Van Kampen, ma è un bel po' che non studio queste cose.

[apatriarca]

Per il secondo caso ($RR^3$ meno un tronco di cilindro vuoto). Avvicini per prima cosa i due bordi superiori e inferiori fino a quasi toccarsi e a formare quindi una sfera a cui mancano due buchi antipodali. Contrai l'interno della sfera fino a che non rimanga un segmento. Infine contrai tutto l'esterno della sfera sulla superficie della sfera. Hai quindi ottenuto una sfera a cui è stato aggiunto un segmento. Avvicina allora i due punti estremi del segmento fino a chiuderlo in una circonferenza. A questo punto puoi utilizzare Van Kampen prendendo la circonferenza e la sfera ottenendo quindi che il gruppo fondamentale è $ZZ$.

EDIT: Ho deciso di fare una trasformazione diversa..