Gruppo fondamentale

[Nastina]

Ciao, spero che qualcuno possa aiutarmi con il mio problema.
Se devo calcolare il gruppo fondamentale di X, dove X è l'unione disgiunta di due insiemi A e B, come faccio? Ad esempio se A e B fossero una sfera (A) e una circonferenza (B), come faccio a calcolare il gruppo fondamentale di A u B? Potrei calcolare singolarmente i due gruppi fondamentali e relazionarli in qualche modo?

grazie!

[Injo]

Se con unione disgiunta intendi dire che [tex]X[/tex] ha due componenti connesse per archi [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], allora il gruppo fondamentale dello spazio dipende dal punto base scelto. Ovvero, se [tex]x_0\in A[/tex] allora [tex]\pi_1(X,x_0)=\pi_1(A)[/tex] e analogamente se il punto sta in [tex]B[/tex]. Infatti, anche intuitivamente, puoi capire che se le componenti sono disgiunte non può esistere un cammino che passa con continuità da una all'altra.

Se non è questo che intendi, in generale si cerca di lavorare con il teorema di Seifert-Van Kampen quando riesci ad esprimere una certa varietà [tex]X[/tex] in unione di aperti.

PS: Il tuo esempio non è particolarmente significativo, infatti la sfera ha gruppo fondamentale banale.

[Nastina]

Grazie della tua risposta. In uno dei diversi esercizi che ho da fare devo calcolare il gruppo fondamentale di X = A U B, dove so che
$ A={(x,y,z) in RR ^3: (x+2)^2+y^2+z^2=4} $;
$ B={(x,y,z) in RR ^3: (x-3)^2+y^2+z^2=2} $.
Non mi viene specificato se $ x_0inA $ oppure se $ x_0inB $.

[Injo]

Se non sbaglio queste sono due sfere che si intersecano in una circonferenza quindi, essendo [tex]A\cup B[/tex] connesso per archi, non è necessario specificare il punto base. In questo caso puoi utilizzare il teorema di Seifert-Van Kampen, infatti [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]A\cap B[/tex] sono connessi per archi. Allora:

[tex]\pi_1(A\cup B)=\pi_1(A)\ast\pi_1(B)[/tex]

dove [tex]\ast[/tex] è il prodotto amalgamato su [tex]\pi_1(A\cap B)[/tex] con gli omomorfismi indotti dalle inclusioni dell'intersezione.

[Nastina]

ok grazie mille