Gruppo fondamentale
Qualcuno sa come trovare il gruppo fondamentale di $R^4\setminus S^1$, dove $S^1$ è la circonferenza?
Risposte
$RR^4" \ "S^1$ intendi quozientato per $S^1$? o lo spazio privato della circonferenza?
"fu^2":
$RR^4" \ "S^1$ intendi quozientato per $S^1$? o lo spazio privato della circonferenza?
Intendo lo spazio $R^4$ privato di $S^1$!!
ti consiglio delle possibili linee guida per la soluzione:
usando il teorema di seifert - van kamper con un adeguata decomposizione, pensando a $S^1$ come ${(x,y,w,z) | x^2+y^2=0, w=z=0}$ e puntando gli apsazi nellì'origine, puoi studiare $RR^3$ privato della circonferenza.
se sezioni con un piano la circonferenza all'altezza del diametro, esso diventa un piano privato di due punti e gli altri due semispazi costituiti da o un semispazio con un ferro di cavallo diciamo.
un semispazio con levato il ferro di cavallo è un retratto per deformazione di un piano meno un punto, quindi i loro gruppi fondamentali sono uguali ($ZZ$).
allora hai $ZZ*ZZ$ che devi quozientare per il $KerPhi$, con $Phi$ la mappa discendente dalla propietà universale del gruppo libero con codominio il gruppo fondamentale dello spazio completo.
Questo lo puoi calcolare te
prova a disegnare il tutto, a scrivere è stato lungo...(peccato non saper fare diagrammi sul forum) ovviamente questa è un idea qualitativa, nulla toglie la possibilità che ci siano vari errori
... analizzala con spirito critico e dimmi i dubbi.
usando il teorema di seifert - van kamper con un adeguata decomposizione, pensando a $S^1$ come ${(x,y,w,z) | x^2+y^2=0, w=z=0}$ e puntando gli apsazi nellì'origine, puoi studiare $RR^3$ privato della circonferenza.
se sezioni con un piano la circonferenza all'altezza del diametro, esso diventa un piano privato di due punti e gli altri due semispazi costituiti da o un semispazio con un ferro di cavallo diciamo.
un semispazio con levato il ferro di cavallo è un retratto per deformazione di un piano meno un punto, quindi i loro gruppi fondamentali sono uguali ($ZZ$).
allora hai $ZZ*ZZ$ che devi quozientare per il $KerPhi$, con $Phi$ la mappa discendente dalla propietà universale del gruppo libero con codominio il gruppo fondamentale dello spazio completo.
Questo lo puoi calcolare te
prova a disegnare il tutto, a scrivere è stato lungo...(peccato non saper fare diagrammi sul forum) ovviamente questa è un idea qualitativa, nulla toglie la possibilità che ci siano vari errori
... analizzala con spirito critico e dimmi i dubbi.
oppure in modo euristico pensa ai possibili lacci che ci sono, a meno di omotopie te ne dovrebbe risultare uno solo, ovvero hai un tipo di laccio che genera tutto (che sono i giri intorno alla circonferenza), quindi il gruppo fondamentale è...?
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