Gruppo delle radici n-esime dell'unità

[Overflow94]

Prove that the nth roots of 1 (also called the nth roots of unity) are given by $alpha, alpha^2, ... , alpha^(n-1)$, where $alpha = e^((2pi i)/n)$, and show that the roots $!=1$ satisfy the equation:

$1 + x + x^2 + ... + x^(n-1) = 0$

Chiamiamo il polinomio $p_n(x) = 1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)$.

Per dimostrare che tutte le radici dell'unità $!=1$ sono radici di $p_n(x)$ è sufficiente dimostrare che lo è $alpha$. Infatti essendo il gruppo delle radici dell'unità ciclico ci sono solo due possibilità:

- Se prendiamo una radice $alpha^k$ con $gcd(k, n)=1$ allora $alpha^k$ è un generatore del gruppo e $p_n(alpha^k)$ è la somma di tutti gli elementi del gruppo, quindi $p_n(alpha)=p_n(alpha^k)$.

- Se invece prendiamo una radice $alpha^k$ con $gcd(k,n)=d>1$, scrivendo $n'=n/d$ e $k'=k/d$, si ha che $alpha^k=beta^(k')=e^(k'(2pi i)/(n'))$ è un generatore del gruppo delle radici $n'$-esime dell'unità e si ha che $p_n(alpha^k)=d p_(n')(beta^(k'))$.

Il secondo caso è coperto dal primo che a sua volta è coperto dal caso $p_n(alpha)=0$.

Per $alpha$ si ha che:

$ p_n(alpha)=sum_(k=1)^ncos(\frac(2pi)nk) + isum_(k=1)^n sin(\frac(2pi)nk) $

Dobbiamo dimostrare che i vari elementi si complementano a $0$, per esempio per $n=3$ abbiamo:

$ sum_(k=1)^ncos(\frac(2pi)3k)= cos(\frac(2pi)3) + cos(\frac(4pi)3) + cos(2pi)=-1/2-1/2+1=0 $
$ sum_(k=1)^nsin(\frac(2pi)3k)= sin(\frac(2pi)3) + sin(\frac(4pi)3) + sin(2pi)=sqrt(3)/2-sqrt(3)/2+0=0 $

Come si può fare a dimostrarlo per ogni $n$?

EDIT:
Scrivendo mi son ricordato che le radici $!=1$ sono complesse e quindi vengono in coppia con i coniugati.

$arg(\bar(z))= -arg(z)$, quindi $cos(arg(\bar(z))) = cos(arg(z))$ e $sin(arg(\bar(z))) = -sin(arg(z))$.

Questo basta ad azzerare il seno, manca da dimostrare che la somma dei coseni si azzera.

[anonymous_0b37e9]

Per dimostrare la proprietà sottostante:

$z^n-1=(z-1)(z^(n-1)+z^(n-2)+...+z+1)$

è sufficiente il metodo di Ruffini.

[Overflow94]

A questo punto l'esercizio è risolto però rimango con la curiosità di come si possa dimostrare che quelle serie siano nulle direttamente.

[gugo82]

"Overflow94":A questo punto l'esercizio è risolto però rimango con la curiosità di come si possa dimostrare che quelle serie siano nulle direttamente.

Beh, semplice. Hai:

$S=sin((2pi)/n) + sin((4pi)/n) + sin((8pi)/n)+ ... + sin(2pi - (8pi)/n) + sin(2pi - (4pi)/n) + sin(2pi - (2pi)/n)$

$S=sin(2pi - (2pi)/n) + sin(2pi - (4pi)/n) + sin(2pi - (8pi)/n)... + sin((8pi)/n) + sin((4pi)/n) + sin((2pi)/n)$

quindi:

$2S = [sin((2pi)/n) + sin(2pi - (2pi)/n)] + [sin((4pi)/n) + sin(2pi - (4pi)/n)] + [sin((8pi)/n) + sin(2pi - (8pi)/n)] + ... + [sin(2pi - (8pi)/n) + sin((8pi)/n)] + [sin(2pi - (4pi)/n) + sin((4pi)/n)] + [sin(2pi - (2pi)/n) + sin((2pi)/n)] \stackrel{"prostaf."}{=} [2 sin(2pi) * cos((4pi)/n - 2pi)] + [2 sin(2pi) * cos((8pi)/n - 2pi)] + ... + [2 sin(2pi) * cos(2pi - (8pi)/n)] + [2 sin(2pi) * cos(2pi - (4pi)/n)] = 0$

dunque $S=0$.
Per il coseno, uguale ("a occhio")... Prova.

Una volta, un docente di ingegneria chimica lamentò che gli studenti non conoscevano le formule di prostaferesi... Evidentemente, questo non è solo un problema degli ingegneri.


P.S.: Non sono serie, ma somme finite.

[Overflow94]

Grazie per la spiegazione. Purtroppo per il coseno temo sia più difficile, perché i seni si compensano 2 a 2, e con il metodo che hai suggerito li accoppiamo e annulliamo 2 a 2. Mentre i coseni possono anche annullarsi collettivamente.

Provando ad applicare lo stesso ragionamento.

$ S=sum_(k=1)^ncos(\frac(2pi)nk)=sum_(k=1)^ncos(\frac(2pi)n(n-k))=sum_(k=1)^ncos(2pi - \frac(2pi)k) $


$ 2S=sum_(k=1)^n[cos(\frac(2pi)nk) + cos(2pi - \frac(2pi)k)]$

Con le formule di prostaferesi si ottiene:

$ cos(\frac(2pi)nk) + cos(2pi - \frac(2pi)k)=2cos(2pi)cos(2\frac(2pi)n k-2pi)=2cos(\frac(4pi)nk) $

$S=sum_(k=1)^n cos(\frac(4pi)nk) $