Gruppo degli omeomorfismi di un quoziente

[Cantor99]

Ciao mi sono posto la seguente questione (quindi non so se sia vera)

Sia $E$ uno spazio topologico, $G$ un gruppo di omeomorfismi di $E$ e $H$ un sottogruppo normale di $G$. Allora il gruppo degli omeomorfismi del quoziente $E/H$ è il gruppo quoziente $G/H$. Inoltre
\[
\frac{E/H}{G/H}\cong E/G
\]

Azzarderei a dire che ogni omeomorfismo di $E/H$ è del tipo
\[
\varphi_{g}: e^{H}\in E/H \to g(e)^{H}\in E/H
\]
con $g\in G$. In tal modo, potrei costruire un omomorfismo surgettivo di gruppi
\[
\Phi: g\in G\to \varphi_{g}\in \mbox{Omeo}(E/H)
\]
che mi induce l'isomorfismo di gruppi
\[
G/H\cong \mbox{Omeo}(E/H)
\]
L'altra relazione la ricaverei osservando che l'applicazione $f:x^{H}\in E/H\to x^{G}\in E/G$ è tale che $f(x^{H})=f(y^{H})$ se e solo se $x^{G}=y^{G}$, cioè se e solo se $x,y$ appartengono alla stessa $G$-orbita: quindi , per la proprietà universale dei quozienti, ho
\[
(E/H)/(G/H) \cong E/H
\]
Le idee sono utilizzabili?
Grazie in anticipo

[solaàl]

"Cantor99":Azzarderei a dire che ogni omeomorfismo di $E/H$ è del tipo
\[
\varphi_{g}: e^{H}\in E/H \to g(e)^{H}\in E/H
\]

Perché dovrebbe essere vero, e prima ancora: perché dovrebbe essere una funzione ben definita questa posizione?

Il gruppo degli omeomorfismi della retta è notoriamente molto complicato: il gruppo degli omeomorfismi del cerchio è il quoziente di quello per \(\mathbb Z\)? Nota che la domanda è mal posta: ci può essere più di un modo in cui $H$ si immerge in $G$ e agisce su $E$; quale stai scegliendo, e perché?

[Cantor99]

Grazie per la risposta.
La questione è partita dall'esercizio 11 di questo pdf https://www.docenti.unina.it/webdocenti ... o/34139542
Nel mio caso $G$ agisce in modo propriamente discontinuo: in tal caso la mia $\varphi_{g}$ è ben definita?