Gruppi topologici

[miles_davis1]

sia H un sottogruppo qualsiasi di un gruppo topologico G. mostrare che la chiusura di H è anch'essa un sottogruppo di G.

[fu^2]

Un gruppo topologico è uno spazio topologico e un gruppo dotato di una operazione binaria tale chela funzione $φ(x,y) = xy^{− 1}$ sia continua.

Sia quindi $H
Devi mostrare che $barH
Prendi due punti $x,y\in barH$ se sono interni hai finito. Se $barH=H$ hai finito. Supponiamo quindi $H\sub barH$ e supponiamo che $x\in barH-delH$ e $y\in delH$ con $delH$ indicati i punti di accumulazione di $H$.

Definisci quindi una successione in $H$ (dimostra che esiste) ${y_n}:y_n->y,n->+oo$ allora la funzione $lim_{nto+oo}phi(x,y_n)=phi(x,y)$ in quanto $phi$ è continua su tutto $G$, quindi l'applicazione $phi(x,*)$ è continua su tutto $G$ essendo $G$ un gruppo topologico.

Se invece $x,y\in del H$ la logica è uguale, prova a farlo te...

[gugo82]

"fu^2":Un gruppo topologico è uno spazio topologico e un gruppo dotato di una operazione binaria tale chela funzione $φ(x,y) = xy − 1$ sia continua.

Scusa fu^2, non dovrebbe essere $phi(x,y)=x*y^(-1)$?

[fu^2]

si il -1 è all'asponente, mi sono dimenticato di digitare ^ ora edito

[miles_davis1]

scusami il ritardo nel (ri)intervenire...
ma un gruppo topologico in particolare è uno spazio topologico e quindi la topologia fa in modo che tutto lo spazio sia aperto e chiuso. quindi sbaglio o è triviale verificare che la chiusura di tutto il gruppo è un sottogruppo?

[miles_davis1]

un altra domanda fu^2... quand'è che la chiusura di un insieme e l'insieme dei suoi punti di accumulazione non coincidono? solo quando l'insieme non è compatto?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"fu^2":Definisci quindi una successione in $H$ (dimostra che esiste) ${y_n}:y_n->y,n->+oo$

A me non sembra banale dimostrare che esiste questa successione... o mi sbaglio?