Gruppi topologici
Buon pomeriggio.
Ho un dubbio. A lezione mi è stato dato (senza dimostrazione) questo teorema:
Questo vuol dire che un gruppo topologico non è mai connesso?
Ho un dubbio. A lezione mi è stato dato (senza dimostrazione) questo teorema:
Sia $mathbb{G}$ gruppo topologico, $H$ sottogruppo di $mathbb{G}$. Se $H$ è aperto, allora $H$ è anche chiuso.
Questo vuol dire che un gruppo topologico non è mai connesso?
Risposte
Non ne so molto sui gruppi topologici, ma a me sembra che ciò che dice questo teorema è che se un gruppo topologico è connesso, l'unico sottogruppo aperto è esso stesso.
Però questo teorema non mi dice che $H$ è sia aperto che chiuso? Non c'è ipotesi di connessione su $mathbb{G}$...
No dice che SE $H$ è aperto allora è chiuso, non ti garantisce che almeno uno aperto ci sia (tranne ovviamente tutto il gruppo).
Quindi, SE questo $H$ esiste, io trovo un sottoinsieme proprio di $mathbb{G}$ aperto e chiuso... quindi il gruppo non è connesso... corretto?
Si.
Per la cronaca la dimostrazione è che il complementare $G-H$ è un'unione di cose del tipo $gH ne H$ quindi è un'unione di aperti quindi è aperto. 
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