Gruppi di trasformazioni tra punti dello spazio
Considerate l'insieme di tutte le terne ordinate di numeri reali.
Si consideri ora l'insieme A di tutte le trasformazioni che sono l'inversa di se stessa, o per meglio dire, tutte le trasformazioni β tali che $ β(β(a,b,c))=a,b,c $ per ogni terna di numeri reali.
Di sicuro l'insieme A è un gruppo rispetto all'operazione di composizione di trasformazioni perchè:
È chiuso rispetto alla composizione di trasformazioni
Comprende l'identità come elemento neutro
Ogni trasformazione è l'inverso di se stessa
Una proprietà elementare di questo gruppo è il fatto di avere per ogni elemento β un sottogruppo che contiene solo quell'elemento e l'operazione di identità; tuttavia parecchie domande rimangono aperte ad esempio quali siano i generatori di A.
Sapreste analizzare questo gruppo o consigliarmi qualche articolo sull'argomento?
Si consideri ora l'insieme A di tutte le trasformazioni che sono l'inversa di se stessa, o per meglio dire, tutte le trasformazioni β tali che $ β(β(a,b,c))=a,b,c $ per ogni terna di numeri reali.
Di sicuro l'insieme A è un gruppo rispetto all'operazione di composizione di trasformazioni perchè:
È chiuso rispetto alla composizione di trasformazioni
Comprende l'identità come elemento neutro
Ogni trasformazione è l'inverso di se stessa
Una proprietà elementare di questo gruppo è il fatto di avere per ogni elemento β un sottogruppo che contiene solo quell'elemento e l'operazione di identità; tuttavia parecchie domande rimangono aperte ad esempio quali siano i generatori di A.
Sapreste analizzare questo gruppo o consigliarmi qualche articolo sull'argomento?
Risposte
A occhio si vede che che questi è un gruppo abeliano (infinito)!
Esercizio: Sia \(\displaystyle G\) un gruppo tale che \(\displaystyle\forall g\in G,\,g^2=1\) (\(\displaystyle G\) è un gruppo di esponente \(\displaystyle2\)); dimostrare che \(\displaystyle G\) è un gruppo abeliano.
Geometricamente, questo gruppo contiene tutte le simmetrie rispetto ai piani, alle rette ed ai punti di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\); e non scrivo oltre, onde evitare errori...
Esercizio: Sia \(\displaystyle G\) un gruppo tale che \(\displaystyle\forall g\in G,\,g^2=1\) (\(\displaystyle G\) è un gruppo di esponente \(\displaystyle2\)); dimostrare che \(\displaystyle G\) è un gruppo abeliano.
Geometricamente, questo gruppo contiene tutte le simmetrie rispetto ai piani, alle rette ed ai punti di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\); e non scrivo oltre, onde evitare errori...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo