Gruppi di matrici come varietà topologiche

[hiemis1]

Ciao a tutti, vi scrivo per chiedervi come si prova che i gruppi SO(3, ℝ), SL(3, ℝ) e GL(3, ℝ), considerati come sottospazi topologici dello spazio delle matrici reali quadrate di ordine 3, sono varietà topologiche di dimensioni rispettivamente 3, 8 e 9.

[vict85]

Il regolamento prevederebbe un tentativo da parte tua. Specialmente dato che quello che chiedi si può trovare facilmente online.

Detto questo, ti invito a pensare a quegli insiemi come triplette di vettori indipendenti di \(\mathbb{R}^3\) (che soddisfano certe proprietà).

[dissonance]

@vict: Sai che non ho afferrato il tuo suggerimento? Io la vedo più come una cosa differenziale. Per esempio, \(SL(3)\) è il sottoinsieme di \(\mathbb R^{3\times 3}\) descritto dall'equazione \(\det A=1\). Tocca dimostrare che \(\det\) è differenziabile e che \(1\) è un suo valore regolare.

Ma mi interessa il tuo punto di vista. So che sono cose profonde: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_fifth_problem

[vict85]

Il mio suggerimento deriva dal fatto che nella tesi magistrale avevo lavorato sui moving frames e quindi mi è probabilmente venuto ormai normale vedere \(SO(3)\) come triplette di vettori tangenti. Per la dimostrazione è probabilmente più semplice usare altri approcci.

[killing_buddha]

Fare il conto di qual è il differenziale di $\det$ (che è differenziabile, è un polinomio nelle coordinate su $M_n(RR)$!) è molto istruttivo (ed in effetti la cosa più rapida).


PS: Hilbert5 è profondo perché era una domanda un po' mal posta (molte delle feature dei gruppi di Lie si sono capite solo dopo -grazie alla volontà di rispondere a Hilbert5-).