Gruppi di coomologia di De Rham: errore nel testo di un esercizio?

[chiara3231]

Ciao a tutti, volevo chiedere se secondo voi c'è effettivamente un errore nel testo del seguente esercizio o se sono io che non ho capito bene.
Il testo dice: "Sia M una varietà compatta orientabile e senza bordo tale che, per ogni $q \ne 0$, $H^q(M)=0$".
Ma mi sembrava che una varietà orientabile, compatta e senza bordo avesse l'ultimo gruppo di coomologia isomorfo a $\mathbb{R}$

[j18eos]

Sì ricordi bene, se per ultimo gruppo di coomologia intendi quello di grado eguale alla dimensione della varietà (differenziabile); a questo punto, se il testo dell'esercizio è corretto: chi è \(\displaystyle M\)?

[vict85]

Non sono sicuro ma immagino che il singolo punto possa essere considerato una varietà. È banalmente orientabile e compatta. Il bordo di un punto è l'insieme vuoto.

[chiara3231]

Sì per ultimo gruppo intendo quello di grado pari al grado della varietà. Nell'esercizio non c'è scritto chi è $M$, ma solo le ipotesi che ho scritto. Però in effetti potrei allora considerare $M$ come un singolo punto, in tal caso non ci sono contraddizioni.

[killing_buddha]

Ma l'esercizio cosa chiede? Sia $M$ una varieta' omotopa[1] al punto... e poi?

[1] Perche' per le varieta' spero valga equivalenza omotopica debole $\to$ equivalenza omotopica.