Grafo di Cayley
Mi si chiede di trovare una presentazione del gruppo dei quaternioni \( \mathbf{Q}_8 \) e di disegnare il grafo di Cayley.
Le soluzioni mi dicono che prendono in considerazione la presentazione
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
e non capisco come la trovi. Con questa presentazione io ho disegnato il seguente grafo di Cayley ma non so se è giusto. Siccome ci sono 4 generatori abbiamo 4 colori. Nella foto il rosso rappresenta moltiplicare a destra per \(i \), il verde a destra per \(j \), il nero a destra per \(k \) e il blu a destra per \( \ell \). L'immagine nello spoiler.
Mi chiedevo se fosse giusto.
La cosa che mi turba è che wikipedia prende un'altra presentazione https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_group
Ma utilizza solo due colori, e non capisco perché. I generatori sono 4 non 2..
Le soluzioni mi dicono che prendono in considerazione la presentazione
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
e non capisco come la trovi. Con questa presentazione io ho disegnato il seguente grafo di Cayley ma non so se è giusto. Siccome ci sono 4 generatori abbiamo 4 colori. Nella foto il rosso rappresenta moltiplicare a destra per \(i \), il verde a destra per \(j \), il nero a destra per \(k \) e il blu a destra per \( \ell \). L'immagine nello spoiler.
Mi chiedevo se fosse giusto.
La cosa che mi turba è che wikipedia prende un'altra presentazione https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_group
Ma utilizza solo due colori, e non capisco perché. I generatori sono 4 non 2..
Risposte
...e certo che i generatori sono \(\displaystyle2\): qual è la tabella moltiplicativa dei quaternioni?
Ma wikipedia mi dice che prende in considerazione la rappresentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
e quindi prende 4 generatori non 2.
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
e quindi prende 4 generatori non 2.
Senza che tu scenda più giù in quella pagina: \(\displaystyle e\) come lo puoi esprimere in funzione di \(\displaystyle i\) e \(\displaystyle j\)?
Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \).
Sono d'accordo che \( \mathrm{Q}_8 \) sia generato da \(i \) e da \(j \). Ma la definizione che ho io di grafo di Cayley dipende dalla rappresentazione scelta. Ed è la seguente
Sia \( S \) un insieme di generatori di \(G \) il grafo di Cayley \( \Gamma = \Gamma(G,S) \) è il grafo orientato e colorato i cui vertici sono gli elementi di \(G \) e una freccia di colore \(s \in S \) è parte da \(g \) e arriva a \( g \cdot s \).
Dunque se \( S= \{ s_1, \ldots, s_n \} \) sono dei generatori e \( R = r_1,\ldots ,r_m \) sono dei relatori abbiamo che il gruppo con presentazione \( G = \left< s_1,\ldots, s_n | r_1, \ldots, r_m \right> \), avrà un grafo di Cayley con \(n \) colori.
Sono d'accordo che il gruppo dei quaternioni con la seguente presentazione \( \mathrm{Q}_8 = \left< i, j | jij i^{-1}, ijij^{-1} \right> \) abbia quel grafo di Cayley, ma il gruppo dei quaternioni con la presentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
avrà un altro grafo di Cayley.
Inoltre non capisco proprio come il prof trova quell'altra presentazione dei quaternioni, e se quindi il grafo che ho disegnato rispetto alla presentazione del prof è corretta.
Sono d'accordo che \( \mathrm{Q}_8 \) sia generato da \(i \) e da \(j \). Ma la definizione che ho io di grafo di Cayley dipende dalla rappresentazione scelta. Ed è la seguente
Sia \( S \) un insieme di generatori di \(G \) il grafo di Cayley \( \Gamma = \Gamma(G,S) \) è il grafo orientato e colorato i cui vertici sono gli elementi di \(G \) e una freccia di colore \(s \in S \) è parte da \(g \) e arriva a \( g \cdot s \).
Dunque se \( S= \{ s_1, \ldots, s_n \} \) sono dei generatori e \( R = r_1,\ldots ,r_m \) sono dei relatori abbiamo che il gruppo con presentazione \( G = \left< s_1,\ldots, s_n | r_1, \ldots, r_m \right> \), avrà un grafo di Cayley con \(n \) colori.
Sono d'accordo che il gruppo dei quaternioni con la seguente presentazione \( \mathrm{Q}_8 = \left< i, j | jij i^{-1}, ijij^{-1} \right> \) abbia quel grafo di Cayley, ma il gruppo dei quaternioni con la presentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \langle \bar{e},i,j,k \mid \bar{e}^2 = e, \;i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \bar{e} \rangle \]
avrà un altro grafo di Cayley.
Inoltre non capisco proprio come il prof trova quell'altra presentazione dei quaternioni, e se quindi il grafo che ho disegnato rispetto alla presentazione del prof è corretta.
"3m0o":Ci stiamo avvicinando: secondo la rappresentazione "grezza" \(\displaystyle i^2=j^2\), quindi...
Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \). [...]
"j18eos":Ci stiamo avvicinando: secondo la rappresentazione "grezza" \(\displaystyle i^2=j^2\), quindi...[/quote]
[quote="3m0o"]Se non sbaglio posso esprimerlo come \( i^2 j^2 = \bar{e} \bar{e} = \bar{e}^2 = e \). [...]
Beh \( i^2 j^{-2} = e \) ma anche \( i^2 j^2 = e \) perché \( \bar{e}^2 = e \) e pure anche \( i^4 = e \) e pure \(j^4=e \), come anche \( ijij^{-1} =e\) od ancora \(jiji^{-1} = e \). No?
A guardare il grafo di Cayley di wikipedia direi che è cosi insomma.
Ecco: puoi usarne solo \(\displaystyle3\) di queste relazioni per rappresentare \(\displaystyle Q_8\)! O:-)
Ti giuro, non sto capendo dove vuoi arrivare. Mi sembra che questa cosa non sia legata alla mia domanda. Nel senso che mi sembra tu mi stia parlando dei relatori, non dei generatori.
Se ho una presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]
devo avere 4 colori, mentre wiki ne usa due! Uno per ogni generatore. I generatori qui sono 4 con questa presentazione!
Se usasse la presentazione
\[ \left< i,j | \text{bla bla} \right> \]
allora va bene usare 2 colori!
Domanda 1: perché usa 2 colori nonostante mi dice che fa riferimento alla presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]
Domanda 2:come fa il prof a ricavare questa di presentazione? Con quale metodo?
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
Domanda 3: con la presentazione del prof il mio grafo di Cayley è corretto?
Se ho una presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]
devo avere 4 colori, mentre wiki ne usa due! Uno per ogni generatore. I generatori qui sono 4 con questa presentazione!
Se usasse la presentazione
\[ \left< i,j | \text{bla bla} \right> \]
allora va bene usare 2 colori!
Domanda 1: perché usa 2 colori nonostante mi dice che fa riferimento alla presentazione
\[ \left< \bar{e}, i ,j, k | \text{bla bla} \right> \]
Domanda 2:come fa il prof a ricavare questa di presentazione? Con quale metodo?
\[ \left< \ell, i ,j ,k | \ell^2,i^2\ell,j^2\ell,k^2\ell, ijk\ell \right> \]
Domanda 3: con la presentazione del prof il mio grafo di Cayley è corretto?
Prendi il gruppo ciclico di ordine \( 3 \). \( C_3 = \{ 1,g,g^2\} \) chiaramente può essere generato solo da \( g \) oppure solo da \(g^2 \). Infatti
\[ C_3 = \left< g | g^3 = 1 \right> \]
E in quel caso il grafo di Cayley ha un colore ed è un "cerchio" \( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
Mentre se scelgo la presentazione con due generatori
\[ C_3= \left< g ,g^2| g^3 = 1 \right> \]
ottengo un grafo di Cayley con 2 colori! Ovvero lo stesso "cerchio" ma con due freccie.
Le freccie (con un colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g \)
\( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
E le freccie (con un altro colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g^2 \)
\( 1 \leftarrow g \leftarrow g^2 \leftarrow 1 \)
\[ C_3 = \left< g | g^3 = 1 \right> \]
E in quel caso il grafo di Cayley ha un colore ed è un "cerchio" \( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
Mentre se scelgo la presentazione con due generatori
\[ C_3= \left< g ,g^2| g^3 = 1 \right> \]
ottengo un grafo di Cayley con 2 colori! Ovvero lo stesso "cerchio" ma con due freccie.
Le freccie (con un colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g \)
\( 1 \rightarrow g \rightarrow g^2 \rightarrow 1 \)
E le freccie (con un altro colore) che vuol dire moltiplicare a destra per \( \cdot g^2 \)
\( 1 \leftarrow g \leftarrow g^2 \leftarrow 1 \)
Mi fermo (per adesso) sulla domanda 1: wikipedia più in giù utilizza una presentazione di \(\displaystyle Q_8\) con due soli generatori, sicché "colora" il grafo con due soli colori...
"j18eos":
Mi fermo (per adesso) sulla domanda 1: wikipedia più in giù utilizza una presentazione di \(\displaystyle Q_8\) con due soli generatori, sicché "colora" il grafo con due soli colori...
Okay quindi usa la presentazione
\[ \mathrm{Q}_8 = \left< i,j | ijij^{-1}=1, jiji^{-1}=1 \right> \]
No, questa:
\[
\mathrm{Q}_8=\langle i,j\mid i^4=j^4=1,ijij^{-1}=1\rangle
\]
... attenzione!
\[
\mathrm{Q}_8=\langle i,j\mid i^4=j^4=1,ijij^{-1}=1\rangle
\]
... attenzione!
"j18eos":
No, questa:
\[
\mathrm{Q}_8=\langle i,j\mid i^4=j^4=1,ijij^{-1}=1\rangle
\]
... attenzione!
mmmh.... non capisco, come fai a dire che è questa e non l'altra? Mi sembrano equivalenti.
Purtroppo non ho tempo oggi (e nemmeno nei prossimo giorni);
ma se tu presenti un gruppo, e non specifichi se un generatore sia periodico oppure no, cambia profondamente la presentazione stessa!
Ad esempio, la tua presentazione ti da un gruppo infinito!
ma se tu presenti un gruppo, e non specifichi se un generatore sia periodico oppure no, cambia profondamente la presentazione stessa!
Ad esempio, la tua presentazione ti da un gruppo infinito!
Figurati, rispondimi poi quando hai tempo, se vorrai 
Ma anche dalla tua presentazione come fai a capire il grafo scusami.
Vabbe abbiamo \( 1 \rightarrow i \rightarrow i^2 \rightarrow i^3 \rightarrow 1 \).
Poi abbiamo che \( 1 \rightarrow j \rightarrow j^2 \rightarrow j^3 \rightarrow 1 \).
Però abbiamo che
\( j \rightarrow j i \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3 \)
Ora abbiamo dalla relazione \( ijij^{-1} = 1 \) che \( ji^{-1} = i j \) e da \(i i^3 =1 \) che \( i^{-1} = i^3 \) dunque \( ji^{-1} = ij \).
Pertanto
\( j \rightarrow ji \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3=ij \rightarrow iji=j\).
\( i \rightarrow ij \rightarrow ij^2 \rightarrow ij^3 \rightarrow ij^4=i\)
Mi resta da dimostrare quanto segue
\( j^2=i^2 \), \(j^3=ji^2 \), \(ij^2 = i^3 \), \(ij^3=ji \), \(j^3=ji^2\) e \( ji^2j = 1 \).
ma come faccio? Non vedo come con le sole relazioni che mi hai dato te.
E poi non capisco come un gruppo finito possa avere presentazione infinita. Quella l'ho sempre presa da wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group#Examples
Ma anche dalla tua presentazione come fai a capire il grafo scusami.
Vabbe abbiamo \( 1 \rightarrow i \rightarrow i^2 \rightarrow i^3 \rightarrow 1 \).
Poi abbiamo che \( 1 \rightarrow j \rightarrow j^2 \rightarrow j^3 \rightarrow 1 \).
Però abbiamo che
\( j \rightarrow j i \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3 \)
Ora abbiamo dalla relazione \( ijij^{-1} = 1 \) che \( ji^{-1} = i j \) e da \(i i^3 =1 \) che \( i^{-1} = i^3 \) dunque \( ji^{-1} = ij \).
Pertanto
\( j \rightarrow ji \rightarrow ji^2 \rightarrow ji^3=ij \rightarrow iji=j\).
\( i \rightarrow ij \rightarrow ij^2 \rightarrow ij^3 \rightarrow ij^4=i\)
Mi resta da dimostrare quanto segue
\( j^2=i^2 \), \(j^3=ji^2 \), \(ij^2 = i^3 \), \(ij^3=ji \), \(j^3=ji^2\) e \( ji^2j = 1 \).
ma come faccio? Non vedo come con le sole relazioni che mi hai dato te.
"j18eos":
Ad esempio, la tua presentazione ti da un gruppo infinito!
E poi non capisco come un gruppo finito possa avere presentazione infinita. Quella l'ho sempre presa da wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Presentation_of_a_group#Examples
Sì, questa presentazione
\[
\langle i,j\mid ijij^{-1}=1, jiji^{-1}=1\rangle
\]
ti da \(\displaystyle Q_8\)!
Trovi \(\displaystyle i,j,k\in G\) tali che \(\displaystyle ij=k,jk=i,ki=j\); e ti viene:
\[
1=ijij^{-1}jiji^{-1}=iji^2ji^{-1}\\
i=iji^2j\Rightarrow ji^2j=1=jiji^{-1}\Rightarrow i^2j=iji^{-1}=j^{-1}\Rightarrow i^2j^2=1
\]
e giocando opportunamente arrivi a \(\displaystyle ik=j^{-1},kj=i^{-1},ji=k^{-1}\); ancòra:
\[
ij=jijiji\Rightarrow ij=(ji)^3\Rightarrow (ij)^4=k^4=1
\]
e quindi:
\[
k^2=(ij)^2=ijij=j^2=i^2\Rightarrow i^4=j^4=1
\]
e il resto vien da sé... La periodicità s'era nascosta!
Quindi, avendo una presentazione mediante due generatori, è ovvio che si debba disegnare un grafo con due colori: uno per ogni generatore. Ti trovi?
Poi, presentazioni diverse dello stesso gruppo, ti devono fornire grafi colorati isomorfi: sbaglio?
\[
\langle i,j\mid ijij^{-1}=1, jiji^{-1}=1\rangle
\]
ti da \(\displaystyle Q_8\)!
Trovi \(\displaystyle i,j,k\in G\) tali che \(\displaystyle ij=k,jk=i,ki=j\); e ti viene:
\[
1=ijij^{-1}jiji^{-1}=iji^2ji^{-1}\\
i=iji^2j\Rightarrow ji^2j=1=jiji^{-1}\Rightarrow i^2j=iji^{-1}=j^{-1}\Rightarrow i^2j^2=1
\]
e giocando opportunamente arrivi a \(\displaystyle ik=j^{-1},kj=i^{-1},ji=k^{-1}\); ancòra:
\[
ij=jijiji\Rightarrow ij=(ji)^3\Rightarrow (ij)^4=k^4=1
\]
e quindi:
\[
k^2=(ij)^2=ijij=j^2=i^2\Rightarrow i^4=j^4=1
\]
e il resto vien da sé... La periodicità s'era nascosta!
Quindi, avendo una presentazione mediante due generatori, è ovvio che si debba disegnare un grafo con due colori: uno per ogni generatore. Ti trovi?
Poi, presentazioni diverse dello stesso gruppo, ti devono fornire grafi colorati isomorfi: sbaglio?
Quindi per chiarezza, quella (di due generatori che ho scritto io) presentazione ti da \( \mathrm{Q}_8 \) e non un gruppo infinito. Se un gruppo finito ha una presentazione essa non può essere un gruppo infinito.
Il grafo di Cayley usa due colori perché si rifà ad una presentazione con due generatori e non con 4 (come pensavo inizialmente). È chiaro che se usa 2 generatori ho 2 colori.
Mentre per quanto riguarda grafi di Cayley isomorfi con presentazioni differenti, penso sia falso. Mi sembra che i grafi di Cayley del gruppo diedrale seguente con presentazioni differenti non siano isomorfi.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph#Examples
Il grafo di Cayley usa due colori perché si rifà ad una presentazione con due generatori e non con 4 (come pensavo inizialmente). È chiaro che se usa 2 generatori ho 2 colori.
Mentre per quanto riguarda grafi di Cayley isomorfi con presentazioni differenti, penso sia falso. Mi sembra che i grafi di Cayley del gruppo diedrale seguente con presentazioni differenti non siano isomorfi.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph#Examples
Sbobino la risposta:
[list=1]
[*:9l266x0x]Sì, hai usato una possibile rappresentazione di \(\displaystyle Q_8\), e di conseguenza puoi disegnare e colorare il corrispondente grafo di Cayley.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Premesso che ogni gruppo è presentabile[nota]Ciò discende dalla costruzione dei gruppi liberi.[/nota], è ovvio che la presentazione di un gruppo finito, non rappresenta un gruppo infinito.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Una presentazione con \(\displaystyle n\) generatori ti da un grafo con \(\displaystyle n\) colori.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Sui morfismi tra grafi di Cayley di un gruppo presentato in maniere distinte (ma equivalenti) mi taccio![/*:m:9l266x0x][/list:o:9l266x0x]
[list=1]
[*:9l266x0x]Sì, hai usato una possibile rappresentazione di \(\displaystyle Q_8\), e di conseguenza puoi disegnare e colorare il corrispondente grafo di Cayley.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Premesso che ogni gruppo è presentabile[nota]Ciò discende dalla costruzione dei gruppi liberi.[/nota], è ovvio che la presentazione di un gruppo finito, non rappresenta un gruppo infinito.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Una presentazione con \(\displaystyle n\) generatori ti da un grafo con \(\displaystyle n\) colori.[/*:m:9l266x0x]
[*:9l266x0x]Sui morfismi tra grafi di Cayley di un gruppo presentato in maniere distinte (ma equivalenti) mi taccio![/*:m:9l266x0x][/list:o:9l266x0x]
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