Grafico di una funzione lineare (applicazione lineare)
Esempio pratico di applicazione lineare:
considero f:R2→R2 tale che f(x,y)=(x+y,y)
Se volessi vedere il grafico nel piano cartesiano di tali due funzioni?? E' possibile?
Grazie
considero f:R2→R2 tale che f(x,y)=(x+y,y)
Se volessi vedere il grafico nel piano cartesiano di tali due funzioni?? E' possibile?
Grazie
Risposte
Prima di qualsiasi cosa: quale sarebbe la seconda funzione?
Secondo: hai fatto gli spazi affini euclidei?
Secondo: hai fatto gli spazi affini euclidei?
Hai ragione, la funzione è una sola , intendevo il grafico dei punti di partenza e dei punti di arrivo. Sto studiando algebra lineare e volevo visualizzare tale trasformazione lineare su un esempio grafico. (gli spazi affini li abbiamo accennati solo, anche le affinità).Cioè la trasformazione f(x,y)=(x+y,y) come si traduce in un esempio ?
Allora intanto vediamo cosa sta succedendo in generale.
Sappiamo che dati due $K$ spazi $V,W$ e un omomorfismo $f:V->W$ gli insiemi;
$Im(f)={w inW: exists v inV,f(v)=w}$
$Ker(f)={v inV:f(v)=0}$
Sono rispettivamente sottospazi di $W$ e $V$.
Dunque in un endomorfismo sia immagine che nucleo sono sottospazi di uno stesso spazio.
Questo cosa ci dice? Che un endomorfismo manda i vettori di uno spazio vettoriale in un suo sottospazio(proprio o improprio.
Per esempio l'applicazione $id_V:V->V$ che associa $id_V(v)=v,forallv inV$ lascia invariati ogni vettore dello spazio vettoriale. In poche parole la trasformazione manda un vettore nel vettore identico.
Prendiamo ora il tuo caso.
Abbiamo un endomorfismo $f:RR^2->RR^2$ che trasforma un generico vettore $(x,y)inRR^2$ nel vettore $(x+y,y)inRR^2$
Così la nostra applicazione trasforma i vettori di $RR^2$ mandandoli in un sottospazio di $RR^2$.
Fissiamo la base canonica per entrambi gli spazi e studiamo
$B={(1,0),(0,1)}$
$M_(B)(f)=((1,1),(0,1))$ è la matrice che rappresenta $f$ risp. alla base $B$
Notiamo subito che $dim Im(f)=r(A)=2=dimRR^2=>Im(f)=RR^2$ e di conseguenza il nucleo contiene il solo vettore nullo.
Dunque $f$ è più di un endomorfismo: è un automorfismo.
Mediante l'applicazione $RR^2$ viene mandato in se stesso, in poche parole otteniamo la stessa identica cosa.
Dunque quello che andresti a disegnare, di fatto, è tutto il piano.
Per farti capire meglio quello che intendo, aggiungo un esempio più significativo.
Consideriamo sempre un endomorfismo di $RR^2$
$f(x,y)=(x,2x)$ questa volta la cosa cambia. Fissiamo sempre le basi canoniche e costruiamo la matrice associata a questo endomorfismo.
$M_(B)(f)=((1,0),(2,0))$
Dunque otteniamo $dim Im(f)=1$ e $dimKer(f)=1$
Il sottospazio di $RR^2$ in cui vengono mandati i vettori, ossia l'immagine, è il sottospazio generato dalle colonne de la matrice ovvero $Im(f)= <((1),(2))> = <(1,2)>$
Dunque l'applicazione manda tutti i vettori di $RR^2$ nella retta vettoriale generata da $(1,2)$ pertanto se volessi disegnare 'l'applicazione'(ti direi più che altro, disegnare l'immagine), dovresti disegnare la retta generata da quel vettore e uscente dall'origine.
Ovviamente il problema di 'disegnare' uno spazio vettoriale, più che uno spazio affine, comporta sempre che tale sottospazio contenga il vettore nullo, ossia l'origine.
Anche se penso che per disegnare uno spazio vettoriale sia sempre ottimo sapere cosa sia uno spazio affine, visto che alla fine parliamo sempre di punti insieme ai vettori.
Dunque per disegnare uno spazio vettoriale sarebbe bene introdurre una applicazione $a:AtimesA->V$ che associ punti a vettori(in questo caso $A=V$ e fissare un sistema di riferimento $Oe_1...e_n$
Se avessi bisogno o voglia che estenda questo ultimo concerto fammelo sapere, nel frattempo spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Sappiamo che dati due $K$ spazi $V,W$ e un omomorfismo $f:V->W$ gli insiemi;
$Im(f)={w inW: exists v inV,f(v)=w}$
$Ker(f)={v inV:f(v)=0}$
Sono rispettivamente sottospazi di $W$ e $V$.
Dunque in un endomorfismo sia immagine che nucleo sono sottospazi di uno stesso spazio.
Questo cosa ci dice? Che un endomorfismo manda i vettori di uno spazio vettoriale in un suo sottospazio(proprio o improprio.
Per esempio l'applicazione $id_V:V->V$ che associa $id_V(v)=v,forallv inV$ lascia invariati ogni vettore dello spazio vettoriale. In poche parole la trasformazione manda un vettore nel vettore identico.
Prendiamo ora il tuo caso.
Abbiamo un endomorfismo $f:RR^2->RR^2$ che trasforma un generico vettore $(x,y)inRR^2$ nel vettore $(x+y,y)inRR^2$
Così la nostra applicazione trasforma i vettori di $RR^2$ mandandoli in un sottospazio di $RR^2$.
Fissiamo la base canonica per entrambi gli spazi e studiamo
$B={(1,0),(0,1)}$
$M_(B)(f)=((1,1),(0,1))$ è la matrice che rappresenta $f$ risp. alla base $B$
Notiamo subito che $dim Im(f)=r(A)=2=dimRR^2=>Im(f)=RR^2$ e di conseguenza il nucleo contiene il solo vettore nullo.
Dunque $f$ è più di un endomorfismo: è un automorfismo.
Mediante l'applicazione $RR^2$ viene mandato in se stesso, in poche parole otteniamo la stessa identica cosa.
Dunque quello che andresti a disegnare, di fatto, è tutto il piano.
Per farti capire meglio quello che intendo, aggiungo un esempio più significativo.
Consideriamo sempre un endomorfismo di $RR^2$
$f(x,y)=(x,2x)$ questa volta la cosa cambia. Fissiamo sempre le basi canoniche e costruiamo la matrice associata a questo endomorfismo.
$M_(B)(f)=((1,0),(2,0))$
Dunque otteniamo $dim Im(f)=1$ e $dimKer(f)=1$
Il sottospazio di $RR^2$ in cui vengono mandati i vettori, ossia l'immagine, è il sottospazio generato dalle colonne de la matrice ovvero $Im(f)= <((1),(2))> = <(1,2)>$
Dunque l'applicazione manda tutti i vettori di $RR^2$ nella retta vettoriale generata da $(1,2)$ pertanto se volessi disegnare 'l'applicazione'(ti direi più che altro, disegnare l'immagine), dovresti disegnare la retta generata da quel vettore e uscente dall'origine.
Ovviamente il problema di 'disegnare' uno spazio vettoriale, più che uno spazio affine, comporta sempre che tale sottospazio contenga il vettore nullo, ossia l'origine.
Anche se penso che per disegnare uno spazio vettoriale sia sempre ottimo sapere cosa sia uno spazio affine, visto che alla fine parliamo sempre di punti insieme ai vettori.
Dunque per disegnare uno spazio vettoriale sarebbe bene introdurre una applicazione $a:AtimesA->V$ che associ punti a vettori(in questo caso $A=V$ e fissare un sistema di riferimento $Oe_1...e_n$
Se avessi bisogno o voglia che estenda questo ultimo concerto fammelo sapere, nel frattempo spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Grazie,ho capito come visualizzare le immagini delle applicazioni lineari! In seguito studierò gli spazi affini e se avrò difficoltà chiederò ancora.
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