Grafico di una funzione continua
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e sia $f: X->Y$ una funzione continua. Si consideri il suo grafico $\Gamma_f= {(x, f(x)) | x ∈ X}subeX × Y$ . Si doti $XxxY$ della topologia prodotto e si doti $\Gamma_f$ della topologia di sottospazio di $XxxY$. Si provi che $\Gamma_f$ è omeomorfo a $X$.
Abbiamo che la funzione $(Id_X,f):X->\Gamma_f$ definita come $(Id_X,f)(x)=(x,f(x))$ e la restrizione della proiezione su $X$ su $\Gamma_f$ ovvero $\pi_{X_{|\Gamma_f}}:\Gamma_f->X$, definita come $\pi_{X_{|\Gamma_f}}(x,f(x))=x$, entrambe le funzioni sono continue e una l'inversa dell'altra perciò sono due omeomorfismi tra $X$ e $\Gamma_f$.
Abbiamo che la funzione $(Id_X,f):X->\Gamma_f$ definita come $(Id_X,f)(x)=(x,f(x))$ e la restrizione della proiezione su $X$ su $\Gamma_f$ ovvero $\pi_{X_{|\Gamma_f}}:\Gamma_f->X$, definita come $\pi_{X_{|\Gamma_f}}(x,f(x))=x$, entrambe le funzioni sono continue e una l'inversa dell'altra perciò sono due omeomorfismi tra $X$ e $\Gamma_f$.
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