Grafico chiuso e omeomorfismi

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anto_zoolander

2 mag 2019, 23:28

Ciao!

Ho il seguente esercizio:

sia $f:X->Y$ una funzione
$•$ Se è continua allora $Gamma_f$ è omeomorfo a $X$
$•$ Se $Y$ è T2 allora $Gamma_f$ è chiuso nella topologia prodotto

primo punto

Prendiamo la funzione $g:X->Gamma_f$ definita come $g(x)=(x,f(x))$
Banalmente è iniettiva e surietta inoltre è continua poiché le componenti lo sono(la funzione identità è banalmente continua).

Ora basta mostrare che $g(A)=Gamma_fcap(AtimesY)$

Di fatto se $(x,y) in Gamma_f cap(AtimesY)$ allora $(x,y)=(x,f(x))$ e $x inA$ da cui $(x,f(x)) in g(A)$

Viceversa se $(x,y) in g(A)$ allora $y=f(x)$ e $x in A$ dunque $(x,f(x)) in Gamma_fcap(AtimesY)$

Se $A$ è aperto in $X$ allora $AtimesY$ è aperto nella topologia prodotto e quindi $Gamma_fcap(AtimesY)=g(A)$ è aperto nel grafico.

secondo punto

Mostro che $Z:=(XtimesY)setminusGamma_f$ è intorno di ogni suo punto

$1)$ Se $(x,y) inZ$ allora $ynef(x)$ ed essendo $Y$ uno spazio T2 esistono $U in I(y), V in I(f(x))$ con $VcapUne emptyset$

$2)$ Per continuità esiste un intorno $U_1 in I(x)$ per cui $f(U_1)subsetV$

Si ottengono $U_1timesV in I(x,f(x))$ e $U_1timesU in I(x,y)$

Se fosse $(U_1timesU)capGamma_fne emptyset$ allora esisterebbe un punto $(a,b)$ per cui $b=f(a)$ con $f(a) in U$ e $a in U_1$ per cui $f(a) in V$ ossia $f(a) in VcapU=emptyset$ Absurddd

Quindi $U_1timesU subset Z$ e pertanto $Z$ è aperto.

Questo nasce da una stretta osservazione grafica con cui separiamo i punti $y$ e $f(x)$ e ci mettiamo in un intorno di $x$ nel quale le immagini si mantengono tutte belle distanti da $y$