Gradiente e Curve di livello

[FreshBuddy]

domanda:se lungo una curva di livello la derivata della funzione è 0 come fa il gradiente a essere perpendicolare al vettore tangente quando dovrebbe essere zero?(saro' ottuso ma non capisco)per favore rispondete...

[Fioravante Patrone1]

risposta grossolana:
curva di livello per $f$ parametrizzata come $x=\phi(t), y=\psi(t)$
allora $f \mapsto h(t) = f(\phi(t),\psi(t)$ è costante
quindi $\frac{d}{dt}h(t)=0$
ma $\frac{d}{dt}h(t) = (\nabla (f))(\phi(t),\psi(t)) \cdot (\phi'(t),\psi'(t))$
quindi $(\nabla (f))(\phi(t),\psi(t)) \cdot (\phi'(t),\psi'(t)) = 0$
cioè i due vettori $(\nabla (f))(\phi(t),\psi(t))$ e $(\phi'(t),\psi'(t))$ sono perpendicolari
ma il secondo è tangente alla curva di livello
NB: $(\nabla (f))(\phi(t),\psi(t))$ indica il gradiente di $f$ calcolato in $(\phi(t),\psi(t))$

tutto quanto sopra diventa una cosa seria se si specificano accuratamente le hp

[FreshBuddy]

si la dimostrazione la conosco...ma rimane sempre il fatto che un gradiente nullo è perpendicolare a qualsiasi punto...quindi non è nullo...quindi ...?

[Fioravante Patrone1]

evidentemente la dimostrazione NON la conosci, visto che nella (classica) dim abbozzata sopra NON c'è scritto che il gradiente è nullo

se non riesci ad accorgerti che è nulla la derivata della funzione $h$ che NON è il gradiente di $f$, non hai capito la dim e quindi NON la conosci

[Nebula2]

"FreshBuddy":domanda:se lungo una curva di livello la derivata della funzione è 0 come fa il gradiente a essere perpendicolare al vettore tangente quando dovrebbe essere zero?(saro' ottuso ma non capisco)per favore rispondete...

il fatto è che sbagli quando dici che il gradiente dovrebbe essere 0.

se la funzione fosse costante ovunque allora sì, non basta che sia costante su una crurva.

[FreshBuddy]

ok ci sono arrivato...lungo una curva di livello ilgrad della g non è necessariamente 0...grazie!