Gradiente di uno scalare
Salve, qualcuno potrebbe "dimostrarmi" o per lo meno chiarirmi la seguente frase in cui mi sono imbattuto:
"Il gradiente di uno scalare è un vettore perpendicolare ad un ipotetico piano ove lo scalare è costante"
"Il gradiente di uno scalare è un vettore perpendicolare ad un ipotetico piano ove lo scalare è costante"
Risposte
Allora il gradiente, in uno spazio vettoriale euclideo, prende in ingresso un funzionale lineare del duale e restituisce il vettore delle sue coordinate come vettore del duale espresso nella base duale (canonica).
Geometricamente (spazi euclidei) lo puoi pensare come un vettore ortogonale ad un iperpiano (che è il nucleo di un funzionale lineare).
Dunque uno scalare è un iperpiano della retta euclidea (cioè uno scalare), quindi il suo gradiente deve essere ortogonale all'iperpiano, cioè deve essere un vettore della retta (cioè uno scalare) che prodotto scalarmente con l'iperpiano faccia 0. Ma c'è solo lo 0. Dunque il gradiente di un punto è 0.
Geometricamente (spazi euclidei) lo puoi pensare come un vettore ortogonale ad un iperpiano (che è il nucleo di un funzionale lineare).
Dunque uno scalare è un iperpiano della retta euclidea (cioè uno scalare), quindi il suo gradiente deve essere ortogonale all'iperpiano, cioè deve essere un vettore della retta (cioè uno scalare) che prodotto scalarmente con l'iperpiano faccia 0. Ma c'è solo lo 0. Dunque il gradiente di un punto è 0.
In poche parole, ti dice che (sotto opportune ipotesi), il gradiente è ortogonale alle curve di livello.
Provo per il caso $n=2$, ma evidentemente si può generalizzare.
Prendi una funzione $f:D \subset RR^2 \rarr RR$ e sia $x_0 \in D$ un punto in cui ha senso calcolare il gradiente di $f$, e sia $x_0 \in f^{-1}(c)$. Allora $ \grad(x_0) * vec(v) =0$, con $vecv$ vettore tangente alla curve di livello.
Dim.:
Sia $vecv$ il vettore tangente alla curva di livello $f^{-1}(c)$ in $x_o$. Posso allora dire che il vettore $v$ è della forma $v=\gamma ' (t)$, con $\gamma: [t_1,t_2] \rarr RR^2$ curva parametrizzata di classe almeno $C^{1}$ (anche a tratti va bene).
Questa curva è tale che $\gamma(t_1)=x_0$ e $\gamma[t_1,t_2] \in f^{-1}(c)$. Da quest'ultima segue che $f(\gamma([t_1,t_2]))=c$.
Consideriamo quindi la funzione costante $f(\gamma(t))$, con $t \in [t_1,t_2]$:
$ (d )/(d t) f(\gamma(t_0)=0 $
Ma, per la chain-rule: $ (d )/(d t) f(\gamma(t_0))=grad(f(\gamma(t_0)))*\gamma'(t_0)=grad(f(\gamma(t_0)))*vecv $ , da cui segue la tesi
Provo per il caso $n=2$, ma evidentemente si può generalizzare.
Prendi una funzione $f:D \subset RR^2 \rarr RR$ e sia $x_0 \in D$ un punto in cui ha senso calcolare il gradiente di $f$, e sia $x_0 \in f^{-1}(c)$. Allora $ \grad(x_0) * vec(v) =0$, con $vecv$ vettore tangente alla curve di livello.
Dim.:
Sia $vecv$ il vettore tangente alla curva di livello $f^{-1}(c)$ in $x_o$. Posso allora dire che il vettore $v$ è della forma $v=\gamma ' (t)$, con $\gamma: [t_1,t_2] \rarr RR^2$ curva parametrizzata di classe almeno $C^{1}$ (anche a tratti va bene).
Questa curva è tale che $\gamma(t_1)=x_0$ e $\gamma[t_1,t_2] \in f^{-1}(c)$. Da quest'ultima segue che $f(\gamma([t_1,t_2]))=c$.
Consideriamo quindi la funzione costante $f(\gamma(t))$, con $t \in [t_1,t_2]$:
$ (d )/(d t) f(\gamma(t_0)=0 $
Ma, per la chain-rule: $ (d )/(d t) f(\gamma(t_0))=grad(f(\gamma(t_0)))*\gamma'(t_0)=grad(f(\gamma(t_0)))*vecv $ , da cui segue la tesi
Grazie mille ad entrambi, ci devo ragionare un po' e poi magari mi rifaccio vivo 
Di primo acchito però la dimostrazione di isaac888 è un po' troppo approfondita per le mie competenze
(Grazie in ogni caso!)
Di primo acchito però la dimostrazione di isaac888 è un po' troppo approfondita per le mie competenze
(Grazie in ogni caso!)
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