Gradiente
[size=150]ciao,qualcuno può dirmi che vuol dire che il gradiente su una curva è la direzione di massima pendenza e perchè?
a me avevano detto che era sempre ortogonale alla superfice della curva...ho un pò di confusione...temo di non aver capito niente!!![/size]
a me avevano detto che era sempre ortogonale alla superfice della curva...ho un pò di confusione...temo di non aver capito niente!!![/size]
Risposte
il gradiente su una curva?
"dedda":
qualcuno può dirmi che vuol dire che il gradiente su una curva è la direzione di massima pendenza e perchè?
a me avevano detto che era sempre ortogonale alla superfice della curva...ho un pò di confusione...temo di non aver capito niente!!!
Ti do qualche indizio.
Sia $v$ un versore. La derivata direzionale di una funzione nella direzione di $v$ è il prodotto scalare tra il gradiente della funzione e $v$. Quindi essa è massima quando la direzione $v$ coincide con quella del gradiente.
Poi, sii più preciso. Si parla di gradiente di una funzione. Non confondere la funzione con le sue curve di livello.
"Lorenzo Pantieri":
Ti do qualche indizio.
Sia $v$ un versore. La derivata direzionale di una funzione nella direzione di $v$ è il prodotto scalare tra il gradiente della funzione e $v$.
Questo però è vero solo se la funzione è differenziabile, nel punto considerato.
allora praticamente io ho un paraboloide e un punto su di esso,il metodo del gradiente che sto studiando mi dice di prendere la retta che passa per questo punto e ha la direzione del gradiente di f,dove f è per l'appunto l'equazione del paraboloide.(il paraboloide è ellittico e a concavità verso l'alto)...tutto questo mi serve perchè devo scendere verso il minimo del paraboloide con un metodo iterativo,con un solo passo mi aspetto di non arrivare subito al minimo,ma di scendere verso il ''basso'' del paraboloide...questa è l'idea intuitiva
il punto è che mi aspettavo che la direzione del gradiente di questa curva fosse perpendicolare alla superficie,ma evidentemente così non può essere altrimenti il metodo non funzionerebbe e in effetti,cercando su internet, ho trovato che la direzione del gradiente è quella di massima pendenza ma non so il perchè e non so con cosa ho confuso il fatto che fosse ortogonale alla superficie della curva...insomma qualcosa non torna su questo gradiente...non so se mi sono spiegata un pò meglio,spero di si perchè non trovo il ragionamento giusto...spero che qualcuno mi possa aiutare!!grazie
il punto è che mi aspettavo che la direzione del gradiente di questa curva fosse perpendicolare alla superficie,ma evidentemente così non può essere altrimenti il metodo non funzionerebbe e in effetti,cercando su internet, ho trovato che la direzione del gradiente è quella di massima pendenza ma non so il perchè e non so con cosa ho confuso il fatto che fosse ortogonale alla superficie della curva...insomma qualcosa non torna su questo gradiente...non so se mi sono spiegata un pò meglio,spero di si perchè non trovo il ragionamento giusto...spero che qualcuno mi possa aiutare!!grazie
cmq si,hai ragione volevo dire gradiente della funzione...sorry...
Se $f:RR^3->RR$ il gradiente della funzione è ortognonale alle superfici di $RR^3$ tali che $f=cost$. Tutto questo fatte salve le opportune condizioni di esistenza.
Sia $f:RR^n->R$ funzione differenziabile in $barx in RR^n$
sia $h in RR^n$, $h$ versore
per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz $|(df)/(dh)(barx)|=|(gradf(barx)|h)|<=||gradf(barx)|| ||h||=||gradf(barx)||$
in genere vale questa
si ha l'uguaglianza <=> i vettori gradiente e h sono paralleli
in realtà si ha che le due quantità (senza valori assoluti) sono uguali se i vettori sono equiversi
e opposte se i vettori opposti
quindi se fai la derivata in direzione del gradiente avrai la derivata direzionale massima
cioè il gradiente è la direzione di massima variazione
sia $h in RR^n$, $h$ versore
per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz $|(df)/(dh)(barx)|=|(gradf(barx)|h)|<=||gradf(barx)|| ||h||=||gradf(barx)||$
in genere vale questa
si ha l'uguaglianza <=> i vettori gradiente e h sono paralleli
in realtà si ha che le due quantità (senza valori assoluti) sono uguali se i vettori sono equiversi
e opposte se i vettori opposti
quindi se fai la derivata in direzione del gradiente avrai la derivata direzionale massima
cioè il gradiente è la direzione di massima variazione
ho capito...grazie per le risposte!!!
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