Gradi di libertà e condizioni lineari
ciao a tutti,
giovedì mattina ho l'esame di algebra e geometria e sto cercando di eliminare gli ultimi dubbi, potete aiutarmi a risolvere questo:
vorrei sapere come si contano ma soprattutto quali sono, qualora esistano, i gradi di libertà di un punto, di una retta e di un piano in $R^1$, $R^2$ e $R^3$ (dovrebbero essere nove possibilità); ad esempio so solo che in R3 i piani e i punti sono sistemi lineari infinito 3, mentre le rette sono un sistema infinito 4. Come si analizzano alla luce dei gradi di libertà le condizioni di appartenenza e di parallelismo?
giovedì mattina ho l'esame di algebra e geometria e sto cercando di eliminare gli ultimi dubbi, potete aiutarmi a risolvere questo:
vorrei sapere come si contano ma soprattutto quali sono, qualora esistano, i gradi di libertà di un punto, di una retta e di un piano in $R^1$, $R^2$ e $R^3$ (dovrebbero essere nove possibilità); ad esempio so solo che in R3 i piani e i punti sono sistemi lineari infinito 3, mentre le rette sono un sistema infinito 4. Come si analizzano alla luce dei gradi di libertà le condizioni di appartenenza e di parallelismo?
Risposte
speravo anch'io di leggere qualche risposta di altri...
spero di non dire sciocchezze (prendi quanto dico con beneficio d'inventario), ma se i gradi di libertà sono gli stessi che si possono considerare "da un punto di vista fisico", allora possiamo provare a ragionare così:
nella retta un punto è individuato da una coordinata, quindi c'è un grado di libertà;
nel piano un punto è individuato da due coordinate, quindi ha due gradi di libertà; una retta è individuata da due punti, e nel piano ha tre gradi di libertà perché il primo punto è individuato da due coordinate, il secondo da una (ad esempio l'angolo che la retta forma con un asse);
nello spazio tridimensionale un punto è individuato da tre coordinate, e quindi ha tre gradi di libertà, un secondo punto relativamente al primo è individuato da due nuove coordinate, un terzo punto relativamente ai primo due è individuato da una sesta coordinata, dunque, dato che due punti individuano una retta, una retta ha cinque gradi di libertà nello spazio, e dato che tre punti individuano un piano, un piano ha sei gradi di libertà nello spazio.
è un po' quello che si studia in termodinamica (principio di equipartizione dell'energia) a proposito di gradi di libertà di molecole monoatomiche, biatomiche triatomiche o poliatomiche.
si potrebbe procedere in altro modo attraverso le equazioni: quanti parametri liberi ci sono? l'equazione di una retta nel piano ha effettivamente 3 parametri, ma non sono tutti indipendenti, e quindi mi verrebbe da dire 2... e la cosa non mi convince molto...
prova a riflettere, e speriamo che si faccia avanti qualcun altro. attendo conferme o smentite. ciao.
spero di non dire sciocchezze (prendi quanto dico con beneficio d'inventario), ma se i gradi di libertà sono gli stessi che si possono considerare "da un punto di vista fisico", allora possiamo provare a ragionare così:
nella retta un punto è individuato da una coordinata, quindi c'è un grado di libertà;
nel piano un punto è individuato da due coordinate, quindi ha due gradi di libertà; una retta è individuata da due punti, e nel piano ha tre gradi di libertà perché il primo punto è individuato da due coordinate, il secondo da una (ad esempio l'angolo che la retta forma con un asse);
nello spazio tridimensionale un punto è individuato da tre coordinate, e quindi ha tre gradi di libertà, un secondo punto relativamente al primo è individuato da due nuove coordinate, un terzo punto relativamente ai primo due è individuato da una sesta coordinata, dunque, dato che due punti individuano una retta, una retta ha cinque gradi di libertà nello spazio, e dato che tre punti individuano un piano, un piano ha sei gradi di libertà nello spazio.
è un po' quello che si studia in termodinamica (principio di equipartizione dell'energia) a proposito di gradi di libertà di molecole monoatomiche, biatomiche triatomiche o poliatomiche.
si potrebbe procedere in altro modo attraverso le equazioni: quanti parametri liberi ci sono? l'equazione di una retta nel piano ha effettivamente 3 parametri, ma non sono tutti indipendenti, e quindi mi verrebbe da dire 2... e la cosa non mi convince molto...
prova a riflettere, e speriamo che si faccia avanti qualcun altro. attendo conferme o smentite. ciao.
Forse ho capito quello che vuole dire geminis, o meglio protendo per questa interpretazione: il grado di libertà è il numero minimo di numeri necessari ad individuare un oggetto: ad esempio, un punto è individuato da tre coordinate e quindi ha grado di libertà $\infty^3$. Analogamente, l'equazione di un piano nello spazio è $ax+by+cz+d=0$, con almeno un coefficiente tra a,b e c diverso da zero. Supponiamo ad esempio che sia $a!=0$. Allora dividendo per a: $x+b'y+c'z+d'=0$ e quindi il piano è individuato da tre numeri. Analogamente una retta è data dall'intersezione non vuota di due piani. In generale l'intersezione di due piani avrà grado di libertà 6 (3 per il primo e 3 per il secondo), ma la condizione che l'intersezione sia non vuota e che sia una retta ne elimina due (ad occhio, ed un po' empiricamente, direi che si esclude il parallelismo e la coincidenza).
Seguendo questo filo logico, allora potrei affermare che una conica nel piano ha grado di libertà 5 ecc.
Se la mia interpretazione fosse corretta, il numero di gradi di libertà è il minimo numero necessario a descrivere completamente l'equazione dell'oggetto che stiamo considerando.
@adaBTTLS: anch'io all'inizio pensavo al numero di parametri linearmente indipendenti che descrivono la soluzione generale dell'equazione dell'oggetto che stiamo considerando, ma in tal modo una retta nello spazio avrebbe grado di libertà 1. Questo è sbagliato... Direi che il numero di parametri linearmente indipendente, più che con il numero di gradi di libertà, coincida con la dimensione dell'oggetto considerato (per lo meno nel caso di oggetti lineari, quali rette e piani). Concordi con me su questo fatto?
Seguendo questo filo logico, allora potrei affermare che una conica nel piano ha grado di libertà 5 ecc.
Se la mia interpretazione fosse corretta, il numero di gradi di libertà è il minimo numero necessario a descrivere completamente l'equazione dell'oggetto che stiamo considerando.
@adaBTTLS: anch'io all'inizio pensavo al numero di parametri linearmente indipendenti che descrivono la soluzione generale dell'equazione dell'oggetto che stiamo considerando, ma in tal modo una retta nello spazio avrebbe grado di libertà 1. Questo è sbagliato... Direi che il numero di parametri linearmente indipendente, più che con il numero di gradi di libertà, coincida con la dimensione dell'oggetto considerato (per lo meno nel caso di oggetti lineari, quali rette e piani). Concordi con me su questo fatto?
secondo quel che dici tu io avrei dovuto dire (erroneamente) che la retta nello spazio ha 1 solo grado di libertà, io invece ho risposto 5 gradi di libertà ...
nel modo che dici tu ho provato ad impostarlo anch'io, ma siccome sono poco convinta, o meglio credo che dovrebbe essere la stessa cosa, vorrei proporre un confronto tra i due metodi e quindi tra i risultati. quanto sarebbe per te se non 5 quel valore?
nel modo che dici tu ho provato ad impostarlo anch'io, ma siccome sono poco convinta, o meglio credo che dovrebbe essere la stessa cosa, vorrei proporre un confronto tra i due metodi e quindi tra i risultati. quanto sarebbe per te se non 5 quel valore?
innanzitutto grazie a entrambi!
io propenderei per la tesi di maurer...il ragionamento secondo me non fa una grinza e poi rispecchia ciò che già sapevo da quel poco che c'è scritto sul mio libro.
io mi faccio queste domande perchè sarebe molto utile a priori riuscire a capire quante soluzioni abbia un problema geometrico e percorrendo questi concetti , una volta che li si è capiti a fondo, si riuscirebbe ad avere una certezza in più sul risultato e questo è un gran vantaggio!
Sicuramente il problema ha qualcosa a che fare con la ricerca delle soluzioni di un sistema lineare di equazioni, nel senso che date un'insieme di condizioni geometriche e di enti geometrici si può costruire un sistema di equazioni che sfrutti tutte le condizioni ( tradotte in forma equazione) insieme alle equazioni rappresentanti quegli enti.Un'altra certezza è che l'aggiunta di condizioni geometriche al problema ne diminuisce le soluzioni fino a darci l'assenza di soluzioni.
Ad esempio è semplice per le basilari conoscenze di geometria capire quante soluzioni ha il problema di determinare quante rette passano per due punti non coincidenti...in R2 la risposta è una retta e anche in R3 ma questa secondo me è solo una coincidenza visto che dalla mia esperienza le soluzioni variano se si condidera il problema in R2 o in R3.
la questione in fondo è matematicamente semplice perchè si riduce al calcolo di una somma algebrica: il numero di soluzioni è la somma di numeri positivi e negativi che dipendono dalla dimensione dello spazio in cui si opera, dal numero di enti geometrici ed eventualmente dal numero delle loro dimensioni,dal numero di condizioni geometriche.Volendo dare un nome alle cose,non so a cosa abbinare il termine "gradi di libertà".
Cerchiamo di ricavare questa "semplice" relazione di somma?
Secondo me bisogna sottrarre al numero di parametri essenziali da cui dipende la soluzione , intesa come luogo di punti , quando essa non è soggetta a nessuna condizione, il numero di condizioni (lineari) indipendenti che si devono imporre.
A tal proposito ho varie idee, alcune sono del mio libro:
condizione di passaggio per un punto :
a un piano si impone una condizione lineare che è data dalla equazione del piano--------------> si sottrae 1
a una retta si impongono due condizioni date dall'intersezione di due piani ----------------------> si sottrae 2
parallelismo:
tra due rette la condizione di parallelismo è data da due condizioni--------------------------------> si sottrae 2
tra due piani due equazioni-----------------------------------------------------------------------------> si sottrae 2
tra retta e piano ho una condizione data da un'equazione-------------------------------------------> si sottrae 1
se ad esempio imponiamo a un piano di contenere 4 punti è poco probabile avere una soluzione perchè le condizioni sono tante a meno che le condizioni non siano dipendenti, il che avviene quando i punti sono in posizioni speciali ad esempio son complanari, allineati o coincidenti...
Ad esempio cosa si può dire del numero di soluzioni del seguente problema alla luce di quanto detto?
quante sfere passano per una circonferenza e che siano tangenti a una retta?usando carta e penna e disegnando la risposta dovrebbe essere 2 ma come ci si arriva dal punto di vista che mi interessa?
io propenderei per la tesi di maurer...il ragionamento secondo me non fa una grinza e poi rispecchia ciò che già sapevo da quel poco che c'è scritto sul mio libro.
io mi faccio queste domande perchè sarebe molto utile a priori riuscire a capire quante soluzioni abbia un problema geometrico e percorrendo questi concetti , una volta che li si è capiti a fondo, si riuscirebbe ad avere una certezza in più sul risultato e questo è un gran vantaggio!
Sicuramente il problema ha qualcosa a che fare con la ricerca delle soluzioni di un sistema lineare di equazioni, nel senso che date un'insieme di condizioni geometriche e di enti geometrici si può costruire un sistema di equazioni che sfrutti tutte le condizioni ( tradotte in forma equazione) insieme alle equazioni rappresentanti quegli enti.Un'altra certezza è che l'aggiunta di condizioni geometriche al problema ne diminuisce le soluzioni fino a darci l'assenza di soluzioni.
Ad esempio è semplice per le basilari conoscenze di geometria capire quante soluzioni ha il problema di determinare quante rette passano per due punti non coincidenti...in R2 la risposta è una retta e anche in R3 ma questa secondo me è solo una coincidenza visto che dalla mia esperienza le soluzioni variano se si condidera il problema in R2 o in R3.
la questione in fondo è matematicamente semplice perchè si riduce al calcolo di una somma algebrica: il numero di soluzioni è la somma di numeri positivi e negativi che dipendono dalla dimensione dello spazio in cui si opera, dal numero di enti geometrici ed eventualmente dal numero delle loro dimensioni,dal numero di condizioni geometriche.Volendo dare un nome alle cose,non so a cosa abbinare il termine "gradi di libertà".
Cerchiamo di ricavare questa "semplice" relazione di somma?
Secondo me bisogna sottrarre al numero di parametri essenziali da cui dipende la soluzione , intesa come luogo di punti , quando essa non è soggetta a nessuna condizione, il numero di condizioni (lineari) indipendenti che si devono imporre.
A tal proposito ho varie idee, alcune sono del mio libro:
condizione di passaggio per un punto :
a un piano si impone una condizione lineare che è data dalla equazione del piano--------------> si sottrae 1
a una retta si impongono due condizioni date dall'intersezione di due piani ----------------------> si sottrae 2
parallelismo:
tra due rette la condizione di parallelismo è data da due condizioni--------------------------------> si sottrae 2
tra due piani due equazioni-----------------------------------------------------------------------------> si sottrae 2
tra retta e piano ho una condizione data da un'equazione-------------------------------------------> si sottrae 1
se ad esempio imponiamo a un piano di contenere 4 punti è poco probabile avere una soluzione perchè le condizioni sono tante a meno che le condizioni non siano dipendenti, il che avviene quando i punti sono in posizioni speciali ad esempio son complanari, allineati o coincidenti...
Ad esempio cosa si può dire del numero di soluzioni del seguente problema alla luce di quanto detto?
quante sfere passano per una circonferenza e che siano tangenti a una retta?usando carta e penna e disegnando la risposta dovrebbe essere 2 ma come ci si arriva dal punto di vista che mi interessa?
Intanto rispondo ad adaBTTLS. Hai proposto due metodi: nel mio post mi riferivo al secondo. Se devo essere sincero, il primo non lo capisco nemmeno tanto bene: mi potresti gentilmente spiegare che cosa intendi che un "secondo punto è individuato rispetto al primo da due nuove coordinate"? Non riesco ad immaginare questa cosa.
Comunque, rivedendo il mio ragionamento, anche a me risulterebbe che le rette hanno grado di libertà cinque: una retta nello spazio è l'intersezione di due piani. Allora, in generale si avrà:
$r: \{(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$
La matrice completa associata al sistema sarà pertanto:
$(A|B)=((a,b,c,|,-d),(a',b',c',|,-d'))$
L'intersezione non può essere vuota, quindi per il teorema di Rouché - Capelli segue che deve essere $rank(A|B) = rank(A)$. Inoltre, non può essere $rank(A) = 1$, altrimenti i due piani sarebbero coincidenti, mentre noi vogliamo che l'intersezione sia una retta, quindi segue che $rank(A) = 2$. Ora riduco la matrice per righe: il risultato sarà che un'entrata della seconda riga (= un coefficiente del secondo piano) diventa nullo. Inoltre, la condizione $rank(A) = 2$ mi impone che almeno uno degli altri due (escluso il termine noto) sia diverso da zero. Pertanto posso dividere per questo coefficiente. In conclusione il primo piano è individuato da una terna di numeri, come ho fatto notare nel post precedente. Il secondo piano, invece sarà individuato genericamente da una coppia di numeri. Quindi in totale, per assegnare una retta dovrò assegnare cinque numeri.
Anche pensando di assegnare la retta come un punto ed un vettore non nullo, i gradi di libertà mi sembrano rimanere 5.
Però, adaBTTLS, sei d'accordo con me sul fatto che il numero di parametri liberi coincide con la dimensione dell'oggetto che si sta considerando?
Comunque, rivedendo il mio ragionamento, anche a me risulterebbe che le rette hanno grado di libertà cinque: una retta nello spazio è l'intersezione di due piani. Allora, in generale si avrà:
$r: \{(ax+by+cz+d=0),(a'x+b'y+c'z+d'=0):}$
La matrice completa associata al sistema sarà pertanto:
$(A|B)=((a,b,c,|,-d),(a',b',c',|,-d'))$
L'intersezione non può essere vuota, quindi per il teorema di Rouché - Capelli segue che deve essere $rank(A|B) = rank(A)$. Inoltre, non può essere $rank(A) = 1$, altrimenti i due piani sarebbero coincidenti, mentre noi vogliamo che l'intersezione sia una retta, quindi segue che $rank(A) = 2$. Ora riduco la matrice per righe: il risultato sarà che un'entrata della seconda riga (= un coefficiente del secondo piano) diventa nullo. Inoltre, la condizione $rank(A) = 2$ mi impone che almeno uno degli altri due (escluso il termine noto) sia diverso da zero. Pertanto posso dividere per questo coefficiente. In conclusione il primo piano è individuato da una terna di numeri, come ho fatto notare nel post precedente. Il secondo piano, invece sarà individuato genericamente da una coppia di numeri. Quindi in totale, per assegnare una retta dovrò assegnare cinque numeri.
Anche pensando di assegnare la retta come un punto ed un vettore non nullo, i gradi di libertà mi sembrano rimanere 5.
Però, adaBTTLS, sei d'accordo con me sul fatto che il numero di parametri liberi coincide con la dimensione dell'oggetto che si sta considerando?
Per quanto riguarda il post di geminis: l'idea intuitiva potrebbe anche essere corretta... In fondo io ho sempre utilizzato più o meno inconsciamente un ragionamento del tipo di quello proposto da te. Nel problema proposto da te l'analisi è in ogni caso facilissima: una sfera è individuata da una quaterna di numeri. Infatti l'equazione generica di una sfera è $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$. Per individuare una sfera dobbiamo determinare i quattro coefficienti $a,b,c,d$. Tuttavia, la condizione che passi per una data circonferenza è molto forte: ci dà informazioni sul centro ed anche sul raggio. Direi che dare il centro di una sfera elimina elimina ben due "gradi di libertà" (ossia fissa due coefficienti): conosci infatti l'asse centrale ed il suo punto generico. Quindi le coordinate del centro saranno dipendenti da un unico parametro (quello che descrive l'asse centrale in forma parametrica). Inoltre abbiamo anche un'informazione sul raggio, che elimina un ulteriore grado di libertà. In definitiva una sfera passante per una circonferenza dovrebbe avere un solo grado di libertà.
Tutto questo discorso empirico sembra assumere una connotazione più rigorosa se andiamo a considerare i fasci. Infatti possiamo descrivere l'insieme delle sfere passanti per una circonferenza mediante un'unica equazione dipendente da due parametri omogenei, oppure da un solo parametro non omogeneo. Consideriamo quest'ultimo caso (che è equivalente al primo, dopo aver diviso per uno dei due parametri). Allora una sfera per una circonferenza sarebbe determinata da un solo numero: il valore del parametro. E quindi giungerei nuovamente alla conclusione di sopra: una sfera passante per una circonferenza ha un solo grado di libertà.
Per quanto riguarda il numero di soluzioni, credo che il discorso sia leggermente più complesso (è la parola adatta): infatti, il numero di soluzioni in un caso del genere non può essere previsto a priori con questi metodi "lineari", dal momento che l'equazione della sfera è di secondo grado. Tuttavia, direi che le soluzioni saranno in generale due, se si considerano anche quelle complesse. Altrimenti, potranno essere una sola contata due volte (una retta inclinata rispetto al piano della circonferenza), due soluzioni (la retta perpendicolare al piano della circonferenza) o nessuna soluzione (la retta appartenente al piano della circonferenza).
L'utilizzo del concetto di fascio permette forse una trattazione più rigorosa. Ad esempio, potrei pensare all'equazione generica di una conica nel piano $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ come ad un "fascio" di coniche (di tutte le coniche possibili) dipendente da cinque parametri. Il numero di parametri del fascio sarebbe allora il numero di gradi di libertà. Inoltre, imponendo delle condizioni geometriche da rispettare, posso ridurre via via il numero di questi parametri liberi, sostituendoli con un numero sempre decrescente, fintanto che non arrivo alla determinazione della soluzione cercata.
Che cosa ve ne pare? Il tutto andrebbe formulato meglio, però la sostanza di fondo mi convince abbastanza...
Tutto questo discorso empirico sembra assumere una connotazione più rigorosa se andiamo a considerare i fasci. Infatti possiamo descrivere l'insieme delle sfere passanti per una circonferenza mediante un'unica equazione dipendente da due parametri omogenei, oppure da un solo parametro non omogeneo. Consideriamo quest'ultimo caso (che è equivalente al primo, dopo aver diviso per uno dei due parametri). Allora una sfera per una circonferenza sarebbe determinata da un solo numero: il valore del parametro. E quindi giungerei nuovamente alla conclusione di sopra: una sfera passante per una circonferenza ha un solo grado di libertà.
Per quanto riguarda il numero di soluzioni, credo che il discorso sia leggermente più complesso (è la parola adatta): infatti, il numero di soluzioni in un caso del genere non può essere previsto a priori con questi metodi "lineari", dal momento che l'equazione della sfera è di secondo grado. Tuttavia, direi che le soluzioni saranno in generale due, se si considerano anche quelle complesse. Altrimenti, potranno essere una sola contata due volte (una retta inclinata rispetto al piano della circonferenza), due soluzioni (la retta perpendicolare al piano della circonferenza) o nessuna soluzione (la retta appartenente al piano della circonferenza).
L'utilizzo del concetto di fascio permette forse una trattazione più rigorosa. Ad esempio, potrei pensare all'equazione generica di una conica nel piano $ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$ come ad un "fascio" di coniche (di tutte le coniche possibili) dipendente da cinque parametri. Il numero di parametri del fascio sarebbe allora il numero di gradi di libertà. Inoltre, imponendo delle condizioni geometriche da rispettare, posso ridurre via via il numero di questi parametri liberi, sostituendoli con un numero sempre decrescente, fintanto che non arrivo alla determinazione della soluzione cercata.
Che cosa ve ne pare? Il tutto andrebbe formulato meglio, però la sostanza di fondo mi convince abbastanza...
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